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RES: [obm-l] OLIMPIADA



Se dentre os 5 numeros, houver 2 iguais, entao a desigualdade eh trivialmente verificada, bastando escolher 2 numeros iguais e obter 0.
 
Suponhamos entao que os 5 numeros sejam distintos 2 a 2 e suponhamos, sem perda de generalidade, que y_1 < y_2....< y_5. A cada y_i existe um arco a_i em (-pi/2, pi/2) tal que tan(a_i) = y_i. Dado que a funcao tangente eh estritamente crecente neste intervalo, podemos escol her estes arcos de forma a que a_1 < a_2.....< a_5. Seja d a maxima diferenca entre 2 arcos consecutivos. Como os arcos estao dispostos no intervalo  (-pi/2, pi/2), temos que 0 < 4*d < pi => 0 < d <pi/4. Assim, existem arcos a_i e a_j, com j =i+1, satisfazndo a a_j - a_i < pi/4.
Temos que tan(a_j - a_i) = (tan(a_j) - tan(a_i))/(1 + tan(a_i)*tan(a_j)) = (y_j - y_i)/(1+ y_i * y_j) . Mas como 0 < a_j - a_i < pi/4, temos que tan(a_j - a_i) < 1. Combinando as desigualdaes, observamos que tem que have 2 reias y_j e y_i satisfazendo a     0 < (y_j - y_i)/(1+ y_i * y_j) < 1, para o caso em que os 5 numeros sao distintos 2 a 2. Considerando-se a possibilidade de que haja pelo menos 2 iguias, chegamos, no caso geral, a que  0 <= (y_j - y_i)/(1+ y_i * y_j) <= 1 para pelo menos 2 dentre os 5 reais.
 
Artur
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Klaus Ferraz
Enviada em: terça-feira, 14 de fevereiro de 2006 19:32
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] OLIMPIADA

Prove que, dentre quaisquer cinco reais y1,y2,y3,y4,y5, existem dois que satisfazem:
0<=(yi - yj)/1+yiyj<=1


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