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Olá,
b_n = 290 + 0,09 b_(n-1)
mas b1 = 290.. logo:
b_n = b1 + 0,09 b_(n-1)
Abrindo para n = 2, n = 3, vc vai ver a seguinte
lei de formacao:
b_n = Sum(i=0 ... n-1, (0,09)^i) b1
Essa somatorio, eh um somatorio de PG e vale: [ 1 -
(0,09)^n ] / 0,81
Assim: b_n = [ 1 - (0,09)^n ] / 0,81 *
b1
Para confirmar, por inducao:
n=1 => b1 = 0,81 / 0,81 * b1 = b1 ..
ok!
Suponhamos verdadeiro para n, e vamos mostrar que
vale para n+1..
b_(n+1) = b1 + 0,09 b_n = b1 + 0,09 [ 1 - (0,09)^n
] / 0,81 * b1 = [ 0,81 + 0,09 - (0,09)^(n+1) ] / 0,81 * b1 = [ 1
- (0,09)^(n+1) ] / 0,81 * b1
Ok.. demonstrado!
lim b_n = b1 / 0,81
que é o resultado que ja tinhamos obtido anteriormente...
tentei mostrar que b_n converge por outros metodos (sem obter o termo
geral) ... consegui provar que ele é crescente..
mas nao consegui provar que é limitado! =/
se alguem souber um modo mais simples de provar, mandai!
abraços,
Salhab
----- Original Message -----
Sent: Friday, February 10, 2006 7:32
PM
Subject: Re: [obm-l] limite
Ola Marcelo,
legal a solucao. Mas como provo q as series bn e an
convergem? Marcelo Salhab Brogliato <k4ss@uol.com.br> escreveu:
a1 = 300
b1 = 200 + 0,3 a1
a2 = 300 + 0,3 b1
b2 = 200 + 0,3 a2
a_n = 300 + 0,3 b_(n-1)
b_n = 200 + 0,3 a_n
substituindo a_n em b_n, temos:
b_n = 2! 00 + 0,3 [ 300 + 0,3 b_(n-1)
]
b_n = 200 + 90 + 0,09 b_(n-1)
b_n = 290 + 0,09 b_(n-1)
Supondo que b_n converge, temos que lim b_n =
lim b_(n-1).. assim:
lim b_n = 290 + 0,09 lim b_n
lim b_n = 290 / [1 - 0,09] = 290 / 0,91 =
318,68 = 318 alunos
lim a_n = 300 + 0,3 lim b_n = 300 + 0,3 *
318,68 = 395,60 = 395 alunos
faltou provar que as series convergem.. mas nao
eh dificil.. olhe:
se provarmos que b_n converge, então,
necessariamente, a_n converge...
fica co! mo exercicio provar que b_n
converge..
abraços,
Salhab
----- Original Message -----
Sent: Thursday, February 09, 2006
8:55 PM
Subject: [obm-l] limite
Uma faculdade recebe todos os anos 300 alunos novos no
primeiro semestre e 200 alunos novos no segundo semestre. 30% dos alunos
sao reprovados no primeiro periodo e repetem o periodo no semestre
seguinte. Sendo an e bn respectivamente os numeros de
alunos do primeiro periodo no primeiro e segundo semestres do ano n,
calcule lim(n-->infinito) an e lim (n-->infinito)bn.
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