Esse tipo de problema sempre da um trabalhinho.Mas eu não tentaria a resolução genérica em uma prova de multipla escolha,tascaria 3 números cujo a soma da ZERO e pronto!
Chamei a primeira parte de I e a segunda de II.
Observe que ,
c(b-c)(c-a) = c(bc-ab-c^2 + ac) = c(-ab+c(b-c+a)) = c(-ab-2c^2) = -abc -2c^3
c(b-c)(c-a) = -abc -2c^3 (i)
O mesmo raciocinio serve para concluir que :
a(a-b)(c-a) = -abc-2a^3 (ii)
b(a-b)(b-c) = -abc-2b^3 (iii)
A parte II fica :
II = [(i)+(ii)+(iii)]/(a-b)(b-c)(c-a) = [-3abc -2(a^3 + b^3 +c^3)]/(a-b)(b-c)(c-a)
Agora veja que :
(a-b)(b-c)(c-a) = abc - b*a^2 - a*c^2 + c*a^2 + c*b^2 + a*b^2 + b*c^2 -abc
A parte I fica:
I=[ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)]/abc
I=[b*a^2 -a*b^2 +c*b^2 -b*c^2 + a*c^2 - c*a^2]/abc
I=[b*a^2 -a*b^2 +c*b^2 -b*c^2 + a*c^2 - c*a^2 + abc - abc]/abc
I= -[(a-b)(b-c)(c-a)]abc
Agora multiplicando I*II :
I*II=[3abc +2(a^3 + b^3 +c^3)]/abc = 3 + 2[(a^3 + b^3 +c^3)]/abc
Se vc fizer (a+b+c)^3 = 0 e isolar de um lado a^3 + b^3 + c^3 , vai encontrar :
a^3 + b^3 + c^3 = -3(a*b^2 + a*c^2 + b*a^2 + c*a^2 + b*c^2 + c*b^2 + 2abc)
[a^3 + b^3 + c^3]abc = -3(b/c + c/b + a/c + a/b + c/a + b/a + 2)
Observe agora que :
a/c = -1 -b/c
c/b = -1-a/b
c/a = -1-b/a
Substiruindo :
[a^3 + b^3 + c^3]abc = -3(-3 + 2) = 3
Finalmente:
I*II = 3 + 2*3 = 9
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De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc:
Data: Fri, 10 Feb 2006 09:51:27 -0200
Assunto: [obm-l] fatoração...
> V se alguem me ajuda com essa...
>
> Se a+b+c=0, qual o valor da expressão [(a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b].[c/(a-b) + a/(b-c) + b/(c-a)]
>
> o gabarito dá como resposta 9...tá dando muito trabalho...v se alguem descobre algum atalho...valew...um abraço à todos
>
> Cgomes
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> acredita-se estar livre de perigo.
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