C(t0 + deltaT) = m0 / (V + deltaV) = m0 * ( V / (V + deltaV)) / V
quando entra um dV, sai um dV e n�o tem mais m0 dentro do volume.
On 2/2/06, Bruno Fran�a dos Reis <bfreis@gmail.com
> wrote:
3) Podemos descrever essa situa��o, de que uma grandeza decai a uma taxa proporcional ao seu valor, com a seguinte equa��o diferencial:
x' = -kx
Usando uma pequena "gambiarra" pra facilitar, podemos resolver assim:
x' / x = -k
Mas x' / x = [ln |x| ] ', ent�o
[ln |x| ] ' = -k
"Integrando os dois lados", e juntando as constantes de integra��o do lado direito, temos:
ln |x(t)| = -kt + C <==> |x(t)| = e^(-kt + C) = e^C*e^(-kt) = Q_0 * e^(-kt), onde chamamos e^C de Q_0.
1) Uma vez eu tinha feito um problema que a agua num reservatorio entrava e saia � mesma vaz�o e ela era aquecida, por uma resist�ncia que trabalhava a uma potencia constante, e a �gua era instantaneamente misturada, e eu procurava a equa��o que diria a temperatura da agua em cada instante. Do jeito que eu tinha feito (que n�o sei se estava certo, pois eu nao tinha a resposta), ficou parecid�ssimo com esse seu, do jeito que eu fiz. Olha s�:
Vamos chamar de V o volume, que � fixo (no seu caso 100L, mas vou fazer um caso mais geral), e Z a vaz�o de entrada/sa�da da �gua.
m=m(t) � a massa de sal contida no recipiente em fun��o do tempo.
Seja t0 um instante qualquer (e m0 = m(t0)). Temos:
C(t0) = m0 / V
Tome um intervalo de tempo "pequeno" deltaT. Vamos ver o que acontece com a concentra��o nesse intervalo de tempo deltaT, no qual entra um volume de agua deltaV = Z*deltaT:
C(t0 + deltaT) = m0 / (V + deltaV) = m0 * ( V / (V + deltaV)) / V
Vamos escrever a diferen�a de concentra��o nesse intervalo de tempo, dividida pela dura��o desse intervalo.
(C(t0 + deltaT) - C(t0)) / deltaT = 1/deltaT * m0/V * ( V/(V+deltaV) - 1) = 1/deltaT * m0/V * (V - V - deltaV)/(V + deltaV) = - 1/deltaT * m0/V * deltaV/(V + deltaV)
Note que deltaV / deltaT = Z, ent�o
(C(t0 + deltaT) - C(t0)) / deltaT = ... = -Zm0/(V * (V + deltaV)) = -Z*C(t0) / (V + deltaV) = -Z*C(t0)/(V + Z*deltaT)
Tome agora o limite para deltaT tendento a 0. Por defini��o, o lado esquerdo � a derivada de C no ponto t0, e do lado direito � f�cil ver que d�:
C'(t0) = -Z*C(t0)/V
O que nos leva � equa��o diferencial de primeira ordem com coeficientes constantes, cuja solu��o �:
x' = -ax ==> x(t) = x(t0) * e^(-a(t-t0)). Ent�o:
C(t) = C(t0)*e^((-Z/V) * (t - t0))
Como queremos a massa de sal, e a concentra��o � massa/volume, basta multiplicar pelo volume pq ele � constante:
M(t) = V * C(t0) * e^((-Z/V) * (t - t0)) = M(t0) * e^((-Z/V) * (t - t0))
Agora � s� substituir:
Tomando t0 = 0, Z = 3, V = 100 e M(t0) = 70 (estou usando as mesmas unidades que vc pq elas "se cancelam" na exponencial, o que � necess�rio para o c�lculo), temos:
M(60) = 70 * e^(-3/100 * 60) = 70 * e^(-
1.8) = ... veja a� quanto d�
vc tem resposta pra saber se isso est� certo?
Abra�o
Bruno
On 1/31/06, Jo�o Vitor <jvgp@terra.com.br
> wrote:
pessoal!
Qo Entenda Q �ndice Zero
e-kt entenda e elevado a -kt
vlw
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Bruno Fran�a dos Reis
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e^(pi*i)+1=0