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a)
Se A = B, então: x E A <=> x E B
A uniao B = {x / x E A ou x E B} = {x / x E A ou x
E A } .... ja que x E B => x E A ....
assim: A uniao B = {x / x E A }
A inter B = {x / x E A e x E B} = { x / x E A e x E
A } = {x / x E A}
Assim, A uniao B = A inter B.
b)
A contem B, entao: x E B => x E A, ou, x !E B
=> x !E A
A - B = {x / x E A e x E compl(B) }
(compl = complemento)
A - B = A inter compl(B)
(A - B) uniao B = { x / (x E A e x E compl(B)) ou x
E B } = { x / (x E A ou x E B) e (x E compl(B) ou x E B) }
mas x E compl(B) ou x E B é U
(universo)
e x E A ou x E B = x E A ou x E A, ja que x E B
=> x E A, entao: x E A ou x E B = x E A
entao:
(A - B) uniao B = { x / (x E A) e (x E U)
}
mas U é universo, entao, x E A e x E U = x E
A
logo: (A - B) uniao B = { x / x E A } =
A
c)
A contido C, entao: x E A => x E C
B contido C, entao: x E B => x E C
A uniao B = C, entao: x E A ou x E B <=> x E C
A inter B = vazio, entao: nao existe x, talque x E A e x E B
x E compl(A) = x !E A (!E = nao
pertence)
x E C e x !E A => (x E A ou x E B) e x !E A = (x E A e x !E A) ou (x E B
e x !E A)
mas x E A e x !E A é vazio...
e x E B e x !E A, mas, nao existe x, talque x E A e x E B, entao, x E A
=> x !E A..
assim, x E B e x !E A = x E B
logo:
C - A = { x / x E B } = B
existem metodos mais faceis de se provar isso .. mas por implicacoes
matematicas, acho que seria assim.
abraços,
Salhab
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