Re: [obm-l] Raiz

[gugu@xxxxxxx]

  Caro Klaus,
  Vamos lá:
  Vamos mostrar por indução que, se k é ímpar, (sqrt(2)-1)^k pode ser escrito
como y.sqrt(2)-x=sqrt(2.y^2)-sqrt(x^2), com x e y naturais e 2.y^2-x^2=1 (aqui
N=2.y^2 e N-1=x^2), e, se k é par, (sqrt(2)-1)^k pode ser escrito como
x-y.sqrt(2)=sqrt(x^2)-sqrt(2.y^2), com x e y naturais e x^2-2.y^2=1 (aqui, N=x^2
e N-1=2.y^2). De fato, isso vale para k=1, que é ímpar, com x=y=1.
  Se k é ímpar, e (sqrt(2)-1)^k=y.sqrt(2)-x, com 2.y^2-x^2=1, temos
(sqrt(2)-1)^(k+1)=(sqrt(2)-1)(y.sqrt(2)-x)=(2y+x)-(x+y).sqrt(2); temos k+1 par e
(2x+y)^2-2.(x+y)^2=2.x^2-y^2=1, como queríamos.
  Por outro lado, se k é par e (sqrt(2)-1)^k=x-y.sqrt(2), com x^2-2.y^2=1, temos
(sqrt(2)-1)^(k+1)=(sqrt(2)-1)(x-y.sqrt(2))=(x+y).sqrt(2)-(x+2y); temos k+1 ímpar
e 2.(x+y)^2-(x+2y)^2=x^2-2.y^2=1, e nossa afirmação está provada.
   Abraços,
             Gugu

Citando Klaus Ferraz <klausferraz@yahoo.com.br>:

> Prove que todo numero natural da forma (sqrt(2)-1)^k, k natural, pode ser
> colocado na forma sqrt(N)-sqrt(N-1))
>
>
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