Na 2a. questão, só conclui que preciso provar que |f(p) - f(q) >= |p -
q|. Mas não consegui faze-lo. Isto é, quase não sai do lugar. :)
Já na 1a. questão, pensei o seguinte, para valer para todo X, então, tem
que existir algum N, tal que em p^N(x) - x seja possivel colocar o 101 em
evidencia. Entao, o termo independente tem que ser 0 ou um multiplo de
101.
Seja a_n o termo independente de p^n(x), então:
a_1 = 1
a_2 = 1 - 2*1 + 14*1 + 1*1 = 14
pois em (p(x))^n o unico termo sem variavel será o 1, entao, (p(x))^3 +
14(p(x))^2 - 2p(x) basta analisar para verificar o a_2.
Já para o a_3, teremos:
a_3 = 1 - 2*a_2 + 14*(a_2)^2 + (a_2)^3
.
.
.
a_n = 1 - 2*a_(n-1) + 14*(a_(n-1))^2 + (a_(n-1))^3
Agora, é necessário encontrar um valor de n para que a_n seja 0 ou um
multiplo de 101.
Acredito que fazendo uma analise, é possível encontrar series para os
termos de x^3, x^2 e x... mas acho que basta o de x, visto que p^N(x) - x é
divisivel por 101. Logo, p^N(x) tem que ter o termo x com
coeficiente (101*k + 1), onde k é inteiro.
Penso em algumas possibilidades... resolvendo a sequencia que encontrei,
podemos testar o valor de n nas sequencias do x^3, x^2 e x.. e verificar a
validade, o que provaria o pedido.
Também é possivel encontrar o valor para qquer uma das outras sequencias
e apenas testa-lo nas outras.
Espero ter ajudado, gostaria de ideias para continuar.. mesmo que por
outra linha de raciocinio.
Haaa.. mesmo que esquecam esse meu raciocinio, gostaria muito que alguem
me ensina-se como resolver esse tipo de sequencia.. é um recorrencia de 1a.
ordem, mas não linear.. nunca vi nada parecido.
Um abraço,
Salhab
> - Duvida: na solução do problema 6 da OBM - Nivel U - Segunda Fase,
que aparece na Eureka 22 está escrito: "Temos ainda |a'(t)| é menor que ou
igual a 2 para todo "t", donde o comprimento da curva "a" é menor ou igual a
4pi". Alguém poderia me explicar por que isso é válido.
>
> - Já faz algum tempo que postei os seguintes problemas da obm. Como
ainda não apareceu nenhuma solução estou postando-os novamente.
>
> 1- (OBM 1996) Seja p(x) o polinomio x^3 + 14x^2 - 2x + 1. Defina
p^n(x) como
> p(p^(n -1)(x)). Mostre que existe um inteiro N tal que p^N(x) - x é
divisivel por 101 para todos os inteiros x.
>
> 2- (OBM 2001 - Nivel U) Seja D o conjunto de pontos de R^2 com |p|
menor que ou igual a 1. Seja f : D => D uma função sobrejetora tal que
> |f(p) - f(q)| é menor que ou igual a |p - q| para quaisquer p, q de
D. Prove que
> |f(p) - f(q)| = |p - q|.
> ( |(x,y)| = sqrt(x^2 + y^2) )
>
> - obs: Uma solução para o problema 2 encontra-se na Eureka 13. No
entanto, é definida uma função f~ "composição de rotação com espelhamento que
coincide com f nos pontos p, q, -p e -q". O que me garante a existência de tal
função? Por quê ela é uma bijeção? Existe uma solução alternativa que não
utilize tal conceito e nem teoria das medidas?
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