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Re:[obm-l] UMA DUVIDA E DOIS PROBLEMAS DA OBM



Fala salhab.. curtindo as férias?!
Bem.. pensei nesse problema um pouco.. nao me veio nada razoavel e eu desisti :P
Bem, em algum lugar ai vc disse que bastaria resolver uma "série" para os termos de x^3, x^2 e etc.. mas o polinomio P^n(x) é de gráu maior que 3 né?? o gráu vai depender de n eu acredito e então teriamos que controlar cada coeficiente... Bem, meu palpite é de que de alguma forma vc consegue colocar fatores em P^n(particularmente nos seus coeficientes) à medida que vc aumente o n. Enfim, não consigo sair do lugar.. mas gostaria de ver uma solução pra este problema também...
[]´s
Igor
----- Original Message -----
To: obm-l
Sent: Sunday, January 15, 2006 5:16 AM
Subject: Re:[obm-l] UMA DUVIDA E DOIS PROBLEMAS DA OBM

Na 2a. questão, só conclui que preciso provar que |f(p) - f(q) >= |p - q|. Mas não consegui faze-lo. Isto é, quase não sai do lugar. :)
 
Já na 1a. questão, pensei o seguinte, para valer para todo X, então, tem que existir algum N, tal que em p^N(x) - x seja possivel colocar o 101 em evidencia. Entao, o termo independente tem que ser 0 ou um multiplo de 101.
Seja a_n o termo independente de p^n(x), então:
a_1 = 1
a_2 = 1 - 2*1 + 14*1 + 1*1 = 14
 
pois em (p(x))^n o unico termo sem variavel será o 1, entao, (p(x))^3 + 14(p(x))^2 - 2p(x) basta analisar para verificar o a_2.
Já para o a_3, teremos:
 
a_3 = 1 - 2*a_2 + 14*(a_2)^2 + (a_2)^3
.
.
.
a_n = 1 - 2*a_(n-1) + 14*(a_(n-1))^2 + (a_(n-1))^3
 
Agora, é necessário encontrar um valor de n para que a_n seja 0 ou um multiplo de 101.
Acredito que fazendo uma analise, é possível encontrar series para os termos de x^3, x^2 e x... mas acho que basta o de x, visto que p^N(x) - x é divisivel por 101. Logo, p^N(x) tem que ter o termo x com coeficiente (101*k + 1), onde k é inteiro.
Penso em algumas possibilidades... resolvendo a sequencia que encontrei, podemos testar o valor de n nas sequencias do x^3, x^2 e x.. e verificar a validade, o que provaria o pedido.
Também é possivel encontrar o valor para qquer uma das outras sequencias e apenas testa-lo nas outras.
 
Espero ter ajudado, gostaria de ideias para continuar.. mesmo que por outra linha de raciocinio.
 
Haaa.. mesmo que esquecam esse meu raciocinio, gostaria muito que alguem me ensina-se como resolver esse tipo de sequencia.. é um recorrencia de 1a. ordem, mas não linear.. nunca vi nada parecido.
 
Um abraço,
Salhab
 
 
 
> - Duvida: na solução do problema 6 da OBM - Nivel U - Segunda Fase, que aparece na Eureka 22 está escrito: "Temos ainda |a'(t)| é menor que ou igual a 2 para todo "t", donde o comprimento da curva "a" é menor ou igual a 4pi". Alguém poderia me explicar por que isso é válido.
>
> - Já faz algum tempo que postei os seguintes problemas da obm. Como ainda não apareceu nenhuma solução estou postando-os novamente.
>
> 1- (OBM 1996) Seja p(x) o polinomio x^3 + 14x^2 - 2x + 1. Defina p^n(x) como
> p(p^(n -1)(x)). Mostre que existe um inteiro N tal que p^N(x) - x é divisivel por 101 para todos os inteiros x.
>
> 2- (OBM 2001 - Nivel U) Seja D o conjunto de pontos de R^2 com |p| menor que ou igual a 1. Seja f : D => D uma função sobrejetora tal que
> |f(p) - f(q)| é menor que ou igual a |p - q| para quaisquer p, q de D. Prove que
> |f(p) - f(q)| = |p - q|.
> ( |(x,y)| = sqrt(x^2 + y^2) )
>
> - obs: Uma solução para o problema 2 encontra-se na Eureka 13. No entanto, é definida uma função f~ "composição de rotação com espelhamento que coincide com f nos pontos p, q, -p e -q". O que me garante a existência de tal função? Por quê ela é uma bijeção? Existe uma solução alternativa que não utilize tal conceito e nem teoria das medidas?
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