Uma moeda é lançada n vezes. Qual a probabilidade de nao sair 2 caras consecutivas?
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Muito bom , ainda nao tinha visto a sequencia de fibonacci "surgir" deste jeito.
Vamos a resolucao,
Sendo o evento E : nao sair 2 caras consecutivas.
Se vc fizer uma pequena piramide e ir eliminando os casos em que saem 2 caras consecutivas{nao fica tao grande assim}, encontrara uma sequencia do tipo,
P(E) = 3/4 , 5/8 , 8/16 , 13/32 , ... que eh a probabilidade de sucesso para n , numero de lancamentos, igual a 2,3,4,5,...
Repare que os denominadores sao todos potencias de 2 , assim para n lancamentos o denominador fica 2^n.
Ja para o numerador temos a sequencia de fibonacci , que possui uma formula fechada {to com preguica de demonstrar} ,
F(k) = [sqrt(5)/5]*[(z^k) - (y^k)] ,sendo z e y raizes da equacao x^2 = x +1 , ou
z = [1 + sqrt(5)]/2 e y = [1 - sqrt(5)]/2
A sequencia F(k) eh valida para k >=0.Mas para o nosso problema so interessa k>=4 , ja que para k=4 ,F(4) = 3 , primeiro numerador da sequencia P(E).
Relacionando n com k ,
Para n=2 temos k=4
n= 3 --> k = 5 ,
... ...
Assim k = n+2
Agora eh so substituir em P(E) :
Para n lancamentos , temos ,
P(E) = {{sqrt(5)/5}*{[z^(n+2)] - [y^(n+2)]}}/2^n , sendo z = [1 + sqrt(5)]/2 e y = [1 - sqrt(5)]/2 .
Abracos,
Luiz H. Barbosa