(Moldávia – 2000) Os números inteiros a,b,c satisfazem à relação a + b + c = 0. Mostre que o número 2(a4 + b 4 +c4 ) é um quadrado perfeito.
Uma possível demonstração . Desde que a + b + c = 0,
c = - (a + b) [ 1 ]
c2 = a2 + 2ab + b2 [ 2 ]
a2 + b2 + c2 + 2 (ab + c (a+b) ) = 0 [ 3]
Nestas condições:
Elevando ambos membros de [3] ao quadrado e substituindo [ 1] encontramos:
a2 + b2 + c2 = 2 (a2 +ab+ b2 ) [ 4]
Elevando ambos membros de [4] ao quadrado e substituindo [ 2] encontramos:
a4 + b 4 + c4 + 2 [a2b2 + (a2 + b2) (a2 + 2ab + b2)] = 4[a4 +3a2b2 +2 a3 b +
Simplificando e agrupando de modo conveniente, obtém-se sucessivamente:
a4 + b 4 + c4 = 2[(a4 + a3b + a2b2 ) + (a3 b + a2b2 + a b3 ) + ( a2b2 + a b3 + b4 )]
a4 + b 4 + c4 = 2[a2 (a2 + a b + b2 ) + ab(a2 + a b + b2 ) + b2 (a2 + a b + b2 )]
Dai,
2a4 +2b 4 +2 c4 = 4[a2 (a2 + a b + b2 ) + ab(a2 + a b + b2 ) + b2 (a2 + a b + b2 )]
= [ 2 (a2 + a b + b2 ) ]2 ,
Portanto, para a, b e c inteiros tais que: a + b + c = 0, segue-se que
2a4 +2b 4 +2 c4 = [2 (a2 + a b + b2 ) ]2 , isto é, que o número 2(a4 + b 4 +c4 ) é um quadrado perfeito, o que finaliza a demonstração.
Do amigo PONCE
Aproveitando este Email ,gostaria a desejar a todos os membros desta lista um feliz natal e um maravilhoso 2006.
| De: | owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: | obm-l@mat.puc-rio.br |
| Cópia: |
| Data: | Fri, 16 Dec 2005 16:00:12 -0300 (ART) |
| Assunto: | [obm-l] questões olim internacional |
