Re: [obm-l] questões olim internacional

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

mentebrilhante brilhante wrote:
> valeu  para aqueles  que me ajudaram  resolvendo as  2 questões anteriores .
> agora  quem puder ajuda nessa  eu agradeço !
> http://img29.imagevenue.com/img.php?loc=loc298&image=64fe3_fagner3.JPG 

Os inteiros a,b,c satisfazem a+b+c=0, prove que 2a^4+2b^4+2c^4
é um quadrado perfeito. É só fazer na unha, c=-a-b, então

2a^4+2b^4+2c^4=
2a^4+2b^4+2(-a-b)^4=
2a^4+2b^4+2(a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4)=
4a^4+8a^3b+12a^2b^2+8ab^3+4b^4=
4(a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4)=

Aqui eu não sei de cabeça, mas tenho a impressão
que é 4(a^2+b^2+C)^2, expandindo dá:

4(a^4+b^4+C^2+2a^2C+2b^2C+2a^2b^2)

E depois, subtraindo:
C^2+2a^2C+2b^2C=2a^3b+a^2b^2+2ab^3,

de onde você vê que C=ab, logo

2a^4+2b^4+2c^4 = (2*(a^2+ab+b^2))^2

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br  "kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita"
------ União contra o forward - crie suas proprias piadas ------
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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