Re: [obm-l] DESIGUALDADE

[Marcos Martinelli <mffmartinelli@xxxxxxxxx>]

Faça a seguinte mudança de variáveis a=px, b=py e c=pz, onde p é o semiperímetro do triângulo e agora teremos que mostrar que

2x^2(1-x)+2y^2(1-y)+2z^2(1-z)>=3xyz <-> 2(x^2+y^2+z^2)-2(x^3+y^3+z^3)>=3xyz <->

2[(x+y+z)^2-2xy-2xz-2yz]-2(x^3+y^3+z^3)+6xyz>=9xyz <->

2[4-2xy-2xz-2yz]-2[x^3+y^3+z^3-3xyz]>=9xyz <->

8-4xy-4xz-4yz-2{(x+y+z)[(x+y+z)^2-3xy-3xz-3yz]}>=9xyz <->

8-4xy-4xz-4yz-16+12xy+12xz+12yz>=9xyz <->

8xy+8xz+8yz-8>=9xyz <-> -y^2+(2-9/8xz)y+(xz-1)>=0.

Observe que as duas raízes dessa equação são na realidade degeneradas em 0 e 1 e como essa parábola tem concavidade negativa assume valores positivos entre as raízes. Lebrando que 0<y<1. (E assim está demonstrado!)