[obm-l] Área do triângulo

[Henrique Rennó <henrique.renno@xxxxxxxxx>]

Olá,

O exercício 17 do nível 3 na última edição da Eureka pede para
calcular a área do triângulo ABM. Pensei como solução utilizar a
fórmula do cosseno da soma de dois ângulos da seguinte forma: cos(x+y)
= cos(x)*cos(y) - sen(x)*sen(y), considerando como x = M^BC e y = A^BM
(o acento circunflexo precede o ponto onde se forma o ângulo). Dessa
forma como x+y = 90º, temos que cos(x+y) = 0 e segue que o
sen(x)*sen(y) = cos(x)*cos(y). Dividindo ambos os lados da equação por
cos(x)*cos(y), temos sen(x)*sen(y) / cos(x)*cos(y) = 1, ou seja,
tg(x)*tg(y) = 1. Mas como o triângulo BMC é retângulo com ângulo reto
no ponto M, y = 90-x. Assim, tg(x)*tg(90-x) = 1. O exercício informa
que o triângulo BMC não é isósceles, o que faz x = 60º e y = 30º (x
parece ser maior que y) e não 45º, pois x = y = 45º ou x = 60º e y =
30º (ou x = 30º e y = 60º) são soluções para essa equação. Utilizando
a fórmula para cálculo da área de um triângulo a partir das medidas do
lado AB = 2 e BM = 3 (BM calculado por relação de sen(30) = BM / 6) e
do ângulo sen(y) = 1/2, calcula-se a área como 3/2. Infelizmente, a
resposta do exercício no gabarito é 6/5.
Gostaria de saber qual a solução para o problema.

Abraços

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================