Re: [obm-l] CORDA FOCAL MÍNIMA (elipse e parábola)

Em 07/11/05, Eduardo Wilner <eduardowilner@yahoo.com.br> escreveu:

   No caso da parábola é mais fácil.

   Seja y^2= 4bx ( b=p/2 na notação canônica ) a
equação da parábola com foco F(b,0) e diretriz y=-b.
   Pela propriedade da parábola: PF=x+b é fácil obter

   PF=2b/(1-cos t)   onde t, como na solução para a
                     elipse, é o ângulo que PF forma
                     com o eixo dos x.

    Para o complemento da corda, novamente, basta
trocar o sinal de cos t:

   P'F=2b/(1+cos t)

   Somando temos o comprimento da corda focal dada
por

   PP'=4b/(sen t)^2 (seria interessante interpretar
geométricamente? ), cujo mínimo é 4b para t=pi/2

  Um PS ao Denisson: se A está no eixo menor AF não
pode ser perpendicular ao eixo (maior?) a não ser que
a elipse tenha degenerado em circunferência, e=1)

--- Eduardo Wilner <eduardowilner@yahoo.com.br>
escreveu:

>
>     Prezado Denisson
>
>     Gostaria muito de entender tua solução poquê,
> logo
> abaixo, estou postando meus "rabiscos" que parecem
> não
> serem tão elegantes e sucintos quanto o que vc.
> apresenta; mas sinceramente nem entendí se é uma
> elipse
> nem, p.e., como AF pode ser perpendicular ao eixo se
> tanto A quanto F estão no eixo? Seriam A e B pontos
> da
> curva em vez de do eixo? Mas como ficam os tais
> triângulos congruentes?
>
>     Bem, respiremos fundo, que lá vai minha
> proposta.
>     Consideremos a elipse centrada na origem do
> sistema de cooredenadas, com semi-eixo maior, a,
> paralelo ao eixo dos x, semi eixo menor b e  c =
> sqrt(a^2-b^2) a semi distância focal, sendo F(c,0),
> F'(-c,0)os focos e P(x,y) um ponto genérico na
> curva.
>      Aplicando a lei dos cossenoas ao triângulo FPF'
> e
>  a propriedade PF+PF'=2a, não é dificil chegar a
>
>      PF = b^2/(a+c*cos t) onde t é o angulo que PF
> faz
> com o eixo dos x.
>
>     O complemento da corda, PF' tem sua expressão
> modificada apenas pelo ângulo t-pi em lugar de t ou
>
>
> trocando o sinal de cos t:
>
>      P'F = b^2/(a-c*cost),
>
>     Somando temos o comprimento da corda focal:
>
>      PP'=2b^2/(a^2-c^2*(cos t)^2)
>
>      que assume um mínimo quando (cos t)^2=0 for
> mínimo, i.e., t=pi/2.
>
>
>     Mas, por favor, explique seu raciocínio.
>
>
>      []s
>
>     Wilner
>
> --- Denisson < denissoncs@gmail.com> escreveu:
>
> > Aparentemente o que se tem que provar é que dado
> um
> > ponto e uma reta, a
> > perpendicular é menor que qualquer oblíqua. Bom,
> axo
> > que cabe uma prova
> > aqui:
> >
> >
> > Axioma 1: A menor distância entre dois pontos é
> uma
> > reta.
> >
> > Seja F o foco, A e B pontos do eixo tais que AF é
> > uma perpendicular ao eixo
> > e BF qualquer oblíqua. Prolongue o segmento AF até
> > um ponto A' tal que AF =
> > AA'. Depois ligue BA'. Perceba que formamos dois
> > triângulos congruentes,
> > então A'B = BF. Note também que segundo o nosso
> > axioma A'F < A'BF -> A'A +
> > AF < A'B + BF -> 2*AF < 2*BF e portanto AF<BF.
> >
> > Traduzindo, a corda traçada por um dos focos
> > perpendicularmente ao eixo é a
> > corda focal mínima...
> >
> >
> >
> >
> > Em 04/11/05, Igor O.A. <igordiscussao@gmail.com >
> > escreveu:
> > >
> > > Estava lendo um livro de geometria analítica e,
> no
> > capítulo de ELIPSES,
> > > havia a seguinte AFIRMAÇÃO:
> > >
> > > "A corda traçada por um dos focos,
> > perpendicularmente ao eixo, denomina-se
> > > *latus rectum corda *ou* focal mínima."*
> > >  Ou seja, essa tal corda é a de menor
> comprimento
> > que passa pelo foco.
> > > Mas... COMO PROVAR ISSO???
> > >   No capítulo de PARÁBOLA também há uma
> AFIRMAÇÃO
> > bem parecida com a
> > > anterior:
> > >  "A corda tirada pelo foco, paralelamente à
> > diretriz, recebe a denominação
> > > de *latus rectum corda *ou* focal mínima."*
> > >  Gostaria também de saber como provar essa
> > afirmação no caso de uma
> > > parábola.
> > > **
> > > Obrigado.
> > >
> > >
> > > --
> > > I G O R
> > >
> > > Jesus ama você.
> > >
> >
> >
> >
> > --
> > Denisson
> >
> > "Os homens esqueceram desta verdade; mas tu não a
> > deves esquecer:
> > É só com o coração que se pode ver direito. O
> > essencial é invisível aos
> > olhos!" (Saint Exupèrry)
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