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Duas soluções para essa questão, bem como as
soluções de todas as questões da prova de matemática do IME desse ano podem ser
encontradas por exemplo no site do Ponto de Ensino (onde eu
trabalho):
Uma solução possível é: Como k eh primo, xy
multiplo de k => x ou y multiplo de k.
Se x=ak, a inteiro, temos substituindo na
equacao que y=ak/(a-1). Como y eh inteiro e mdc(a,a-1)=1, deve-se ter a-1
dividindo k. Sendo k primo, isso dá a-1 em {-k,-1,k,1} que dá a em {1-k, 0, 1+k,
2} e substituindo em x=ak e y=ak/(a-1) vc acha 4 soluções. Trocando x com y
(i.e, fazendo y=ak) vc acha mais duas.
É interessante notar que essa questão
já tinha aparecido antes na olimpíada de matemática do Estado do Rio de Janeiro
de 1998 (por acaso foi uma prova que eu fiz como aluno, por isso lembrei
:)).
Abraços,
Marcio
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