Re: [obm-l] Subconjuntos de R

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

A sua enumeracao burra dos racionais foi uma ideia bem
inteligente. Eu soh acho que falta um arremate final
para completar a prova.

Vc mostrou que a colecao dos intervalos com centros
fora de J nao cobre R - J. Isto eh decorrencia do fato
de que a medida total desta colecao eh finita,
enquanto que a de R - J eh infinita. Como conjuntos de
medida finita nao podem cobrir conjuntos de medida
infinita, temos que a colecao dos intervalos centrados
em elementos fora de J nao cobre, por exemplo (3,
inf). Por outro lado, vemos que a uniao dos intervalos
centrados em elementos de J estah contida em (-2, 2),
que nao intersecta (3, inf). Isto mostra que a uniao
de todos os intervalos, ou seja, o conjunto I, de fato
nao cobre a totalidade de R.

Obrigado pela solucao.

Artur  

--- Bernardo Freitas Paulo da Costa
<bernardofpc@gmail.com> wrote:

> Só como "palpite": tome x_n = 1/n, a série
> harmônica, que diverge. Mas
> agora suponha que a sua enumeraçao dos racionais é
> "burra" no seguinte
> sentido: ela inclui os números numa ordem bastante
> particular:
> Seja J o intervalo (-1,1); ela inclui um número de
> J, outro fora de J,
> três de J, um fora de J, cinco de J, um fora de J,
> ..., 2n+1 de J, um
> fora de J, 2n+3 de J, um fora de J, .... Bom, os
> termos dentro de I
> nao me interessam, mas os que estao fora formam uma
> subseqüência y_n
> cujos índices sao (n^2 + n), e portanto Soma(y_n)
> converge. Pelo seu
> problema (que eu deixo pra outra pessoa resolver :)
> ), temos em (R \
> I) que Uniao (intervalos com centro fora de J) é um
> subconjunto
> próprio de (R \ I).
> 
> Mas ainda espero uma caracterizaçao melhor...
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> On 10/17/05, Artur Costa Steiner
> <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
> >
> > O problema a seguir talvez fosse mais desafiador
> se nao tivesse ainda havido
> > esta discussao sobre conjuntos com interior vazio
> e medida positiva. Apos
> > esta discussao, a solucao eh bem obvia:
> >
> > Sejam (r_n) uma enumeracao dos racionais, (x_n)
> uma sequencia de termos
> > reais positivos, I_n = (r_n - x_n,  r_n + x_n) e I
> = Uniao (I_n). Entao, I
> > eh um aberto denso em R. Mostre que, se Soma (x_n)
> convegir, entao I eh um
> > subconjunto proprio de R.
> >
> > Minha duvida: e se Soma (x_n) divergir? Ainda
> assim eh possivel termos I
> > como subconjunto proprio de R? Neste caso, I = R
> eh sem duvida possivel.
> > Isto
> > certamente ocorrerah se tivermos, por exemplo, x_n
> = r >0 para todo n, sendo
> > r constante. Estou analisando esta sitauacao, em
> que Sona (x_n) diverge.
> >
> > Artur
> >
> >
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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