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Re:[obm-l] Ajuda - Complexos - Trigonometria
Também dá pra provar (e sem usar complexos) que a soma dos quadrados dos comprimentos de A1A2, A1A3, ..., A1An é igual a 2n.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Thu, 13 Oct 2005 09:25:03 -0300 |
| Assunto: |
Re:[obm-l] Ajuda - Complexos - Trigonometria |
>
>
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
>
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
>
| Data: |
Thu, 13 Oct 2005 10:13:14 +0000 (GMT) |
>
| Assunto: |
[obm-l] Ajuda - Complexos - Trigonometria |
> > Olá Senhores !
> >
> > Estou com dificuldade para resolver um problema do
> > livro do Morgado e do Manfredo Perdigão, o livro da
> > coleção do IMPA, sobre complexos e trigonometria.
> >
> > Seja AnAm a distância entre os pontos An e Am.
> > Seja o polígono regular de n lados, inscrito em uma
> > circunferência de raio 1. Demonstre que:
> >
> > A1A2.A1A3.A1A4. ... .A1An = n
> >
> > Cheguei a relações trigonométricas interessantes,
> > mas não consegui desenvolvê-las.
> >
> > Obrigado desde já pela ajuda!
> >
> > Celso Faria de Souza
> >
>
> Esse é um clássico...
>
> As raízes da equação z^n - 1 = 0 (raízes n-ésimas da unidade) são precisamente os vértices de um n-gono regular, centrado na origem do plano complexo e inscrito num círculo de raio 1. Uma dessas raízes é 1. As outras são w, w^2, ...., w^(n-1), onde w = cis(2pi/n).
>
> Agora, z^n - 1 se fatora de duas maneiras distintas:
> z^n - 1 = (z - 1)(z - w)(z - w^2)...(z - w^(n-1))
> e
> z^n - 1 = (z - 1)(z^(n-1) + z^(n-2) + ... + z + 1)
>
> Isso quer dizer que:
> (z - w)(z - w^2)...(z - w^(n-1)) = z^(n-1) + z^(n-2) + ... + z + 1
>
> Tomando valores absolutos e fazendo z = 1 na identidade acima, você obtém o resultado desejado.
>
> Aliás, outra maneira de fatorar z^n - 1 que dá origem a resultados interessantes leva em conta que w^k e w^(n-k) são complexos conjugados e, portanto, raízes de um polinômio quadrático de coeficientes reais:
> (z - w^k)(z - w^(n-k)) = z^2 - (w^k + w^(n-k))z + 1 =
> z^2 - (2cos(2kpi/n))z + 1
>
> Assim, se n é ímpar ==> n = 2m+1 ==>
> z^n - 1 = (z - 1)*PRODUTO(k=1...m) (z^2 - (2cos(2pi/n))z + 1)
>
> Se n é par ==> n = 2m ==>
> z^n - 1 = (z - 1)*(z + 1)*PRODUTO(k=1...m-1) (z^2 - (2cos(2pi/n))z + 1)
>
> Por exemplo, fazendo z = -i nessas identidades você obtem o valor (real) de um produto de cossenos.
>
> []s,
> Claudio.
>
>