Re: [obm-l] Re: alguem fez esta...(latex)

[Sergio Lima Netto <sergioln@xxxxxxxxxxx>]

Caro Eduardo, Nicolau e demais colegas da lista,
Peco desculpas pela mensagem anterior com excesso de LaTex.
A minha solucao foi meio preguicosa.
Eu tinha a solucao pronta em latex fazendo parte da versao 7.
Fiquei com preguica de editar muito. Ai dei um cut-and-paste
do arquivo que tenho pronto.
De qualquer forma, alguem acabou de dar a solucao
elegante (usando Cramer e mudanca de variavel), e, melhor
ainda, usando notacao apropriada.
Abracos,
sergio


On Wed, 12 Oct 2005, Eduardo Wilner wrote:

> 
> 
>    Perdao Sergio, mas:
> 
>    
> --- Sergio Lima Netto <sergioln@lps.ufrj.br> escreveu:
> 
> > 
> > Peco desculpas pelo formato LaTeX,
> > mas ai segue a minha solucao para o problema
> 
>   i) Porque nao colocar as equacoes como vc. fez neste
> ponto?    
> > a.sen x - b.cos x = (c/2).sen 2x
> > a.cos x + b.sen x = c.cos 2x
> 
>   ii) O primeiro membro da primeira equacao seria 1/2
> e nao c/2, se o "embroglio" todo se refere ao problema
> nominado como Sist.Trigonometria postado por Danilo
> Nascimento em 29/9. Essa diferenca atrapalhou um
> bocado Danilo... alias 
>  
> > que por sinal foi a questao de numero 12 da prova de
> > 1983/1984
> > de geometria do vestibular do IME.
> > A minha resposta nao fica tao elegante quanto a que
> > voce apresentou, mas imagino que com um pouco
> > de algebrismo, tudo de certo.
>   
>   iii)  (continuando o "alias"} nao dah pra entender
> com quem vc. estah dialogando... Seria com Danilo?
> (sorry mas ainda tem o iv) lah no fim.
>  
> > Alias, estou terminando a versao 7 do material do
> > IME
> > que incluira' as solucoes das provas de geometria do
> > presente
> > ate' 1979/1980. Acho que ainda em outubro eu consigo
> > terminar
> > (ou quase - provavelmente precisarei da ajuda de
> > alguns desta
> > lista). Ai sera' mais facil de ler a solucao a
> > seguir:
> > 
> > OBS: Na notacao do latex: \frac{a}{b} = a/b
> > OBS2: se nao der para seguir o texto, acompanhe
> > apenas os
> > passos e refaca o algebrismo seguindo os passos que
> > sao indicados
> > (da' mais trabalho mas ai voce nao se chateia com o
> > latex e nem comigo).
> > 
> > Abraco,
> > sergio
> > 
> > \vspace*{0.0cm} \noindent
> > {\bf Solu\c{c}\~ao:} \\
> > Dividindo as equa\c{c}\~oes do enunciado, tem-se
> > \beq
> >   \frac{1}{2}\, \tan \, 2x
> >   = \frac{a \, \sin \, x - b \cos x}{a \cos x + b \,
> > \sin \, x}
> >   = \frac{\frac{a \, \sin \, x}{a\cos x} - \frac{b
> > \cos x}{a\cos x}}{\frac{a \cos x}{a\cos x} \!+\!
> > \frac{b \, \sin \, x}{a\cos x}}
> >   = \frac{\tan \, x - \frac{b}{a}}{1 + \frac{b}{a}\,
> > \tan \, x}
> > \eeq
> > Logo, usando a f\'ormula da tangente do arco-dobro,
> > t\^em-se
> > \beq
> >   \frac{1}{2} \frac{2\tan \, x}{1 - \tan^2 x} =
> > \frac{\tan \, x - \frac{b}{a}}{1 + \frac{b}{a}\,
> > \tan \, x} &\Rightarrow& \\[0.2cm]
> >   \tan \, x \left(1 + \frac{b}{a} \, \tan \, x
> > \right) = \left( \tan \, x - \frac{b}{a} \right)
> > \left( 1 - \tan^2 x \right) &\Rightarrow& \\[0.2cm]
> >   \tan \, x + \frac{b}{a}\, \tan^2 x = \tan \, x -
> > \tan^3 x - \frac{b}{a} + \frac{b}{a}\, \tan^2 x
> > &\Rightarrow& \\[0.2cm]
> >   \tan^3 x = -\frac{b}{a}
> > \eeq
> > e ent\~ao
> > \beq
> >   \tan \, 2x =
> >
> \frac{-2\sqrt[3]{\frac{b}{a}}}{1+\sqrt[3]{\frac{b^2}{a^2}}}
> > \eeq
> > 
> > Elevando cada equa\c{c}\~ao do enunciado ao quadrado
> > e adicionando os resultados,
> > t\^em-se
> > \beq
> >   \left\{ \begin{array}{l}
> >     \!\!a^2 \, \sin^2 x \!-\! 2ab \, \sin \, x \cos
> > x \!+\! b^2 \cos^2 x = \frac{c^2}{4} \, \sin^2 2x
> > \\[0.2cm]
> >     \!\!a^2 \cos^2 x \!+\! 2ab \, \sin \, x \cos x
> > \!+\! b^2 \, \sin^2 x = c^2 \cos^2 2x
> >   \end{array} \right. \volta&\Rightarrow&\volta
> > \\[0.2cm]
> >   (a^2+b^2) (\sin^2 x + \cos^2 x) = \frac{c^2}{4}
> > (\sin^2 2x + 4\cos^2 2x) \volta&\Rightarrow&\volta
> > \\[0.2cm]
> >   \frac{4(a^2 + b^2)}{c^2} = (\sin^2 2x + 4\cos^2
> > 2x) \volta&&\volta
> > \eeq
> > Divindo esta express\~ao por $\cos^2 2x$ e lembrando
> > que $\sec^2 2x = (\tan^2 2x + 1)$, t\^em-se
> > \beq
> >   \left[ \frac{4(a^2 + b^2)}{c^2} \right] (\tan^2 2x
> > + 1) = \tan^2 2x + 4 \volta&\Rightarrow&\volta
> > \\[0.2cm]
> >   \left[  \frac{4(a^2 + b^2)-c^2}{c^2} \right]
> > \tan^2 2x = \frac{4(c^2 - a^2 - b^2)}{c^2}
> > \volta&\Rightarrow&\volta \\[0.2cm]
> >   \tan^2 2x = \frac{4(c^2 - a^2 -
> > b^2)}{4(a^2+b^2)-c^2} \volta&\Rightarrow&\volta
> > \\[0.2cm]
> >   \tan \, 2x = \mp 2\sqrt{\frac{(c^2 - a^2 -
> > b^2)}{4(a^2+b^2)-c^2}} \volta&&\volta
> > \eeq
> > 
> > Logo, igualando as duas express\~oes obtidas
> > anteriormente para $\tan \, 2x$, tem-se
> > \beq
> >   
> >
> \frac{-\sqrt[3]{\frac{b}{a}}}{1+\sqrt[3]{\frac{b^2}{a^2}}}
> > = \mp \sqrt{\frac{(c^2 - a^2 -
> > b^2)}{4(a^2+b^2)-c^2}}
> > \eeq
> 
>   iv) Creio que muita coisa, aih em cima, nao
> funcionaria em LaTex. Por exemplo, nesta ultima
> expressao tem uns [] que nao funcionam e me parece que
> faltam }s ou tem {s de mais. De qualquer forma, acho
> que seria mais conveniente usar notacoes mais leves,
> jah que a lista nao tem embutida "interpretador" de
> LaTex.   
> 
>    []s
> 
> 
> 
> 	
> 
> 
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