Re: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Bom, ontem eu estava sem muito tempo, mas aqui vai um "pequeno" resumo
de convergências diferentes sentidos, com as implicaç~oes que
funcionam, e as condiç~oes a adicionar para fazer funcionar as outras:

Conv Uniforme (ou  L^\infty) => Conv Quase-Uniforme => Conv qtp
Conv Quase-Uniforme => Conv em Medida
Conv Quase-Uniforme + seq Dominada => Conv em L^p para p finito

Conv qtp + seq Dominada => Conv em L^p para p finito
Conv qtp + medida finita   => Conv Quase-Uniforme
Conv qtp + ( medida finita OU seq Dominada ) => Conv em Medida

(Para p finito)
Conv L^p => Conv em Medida
Conv L^p => existe uma subseqüência que Converge qtp
Conv L^p => existe uma subseqüência que Converge Quase-Uniformemente
Conv L^p exponencialmente rápida => Conv Quase-Uniforme

Conv em Medida => existe uma subseqüência que Converge
Quase-Uniformemente => esta subseqüência converge qtp
Conv em Medida + seq Dominada => Conv em L^p para p finito
Conv em Medida exponencialmente rápida => Conv qtp

Bom, agora a referência (para demonstraç~oes e uma figurinha bem bonita)
Curso de Teoria da Medida, A. Armando de Castro Jr, Projeto Euclides /
IMPA, pag 103 e 104

Até mais,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On 10/10/05, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
> Oi Bernardo, esta sua solucao eh ainda mais legal do que a que eu consegui
> dar uma vez (depois que me deram uma porcao de sugestoes...). Eh na linha da
> sua, mas eu me restringi aaa integral de Riemann.
>
> Se alguma subsequencia (sen(n_k*x) de (sen(n*x)) convergisse em [0, 2*pi],
> entao o criterio de Cauchy implicaria que lim (sen(n_(k+1)* x - sen(n_k* x)
> = 0 para todo x de [0, 2*pi]. Logo, pensando tambem em quadrados, teriamos
> que lim ((sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x)^2)) = 0. Pelo teorema da
> Convergencia Dominada, aplicado ao caso de Riemann, teriamos entao que lim
> Int (0 a 2*pi) (sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x)^2)dx = Int (0 a 2pi) 0 dx = 0.
>
>
> Mas, com algum trabalho, podemos verificar que, para todo k, Int (0 a 2*pi)
> (sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x))^2 = 2*pi. Para concluir isto, basta fazer
> algumas substituicoes trigonometricas, eh um pouco trabalhoso mas facil.
> Assim, a subsequencia das integrais eh constante e converge trivialmente
> para 2*pi, contrariando a conclusao anterior de que tem que convergir para
> 0. Logo (sen(n*x) nao pode ter nenhuma subsequencia que convirja em [0,
> 2*pi].
>
> Artur
>
>
>
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa
> Enviada em: segunda-feira, 10 de outubro de 2005 16:31
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes
>
>
> Bom, talvez eu esteja enviando a soluç~ao "n~ao-evidente", mas como eu
> acho que ela vale a pena, (e talvez porquê eu também ache que ela n~ao
> é t~ao estranha assim, pensando em Séries de Fourrier), lá vai:
>
> Como eu sei que você gosta de medida etc, vamos para L^2[0,2pi]. É um
> fato "bem-conhecido" que estas funç~oes formam uma base para este
> espaço, com a convergência L^2 e o produto interno \int_0^2pi
> f^*(x)g(x)dx (integral de 0 a 2pi do conjugado de f vezes g). Ora, é
> claro que n~ao podemos ter uma seqüência ortonormal que convirja,
> ent~ao (como toda subseqüência de sen(n*x) também forma uma seqüência
> ortonormal) sabemos que sen(n*x) n~ao converge na norma L^2. Agora, um
> pouco de teoria da medida nos diz que, sendo todas elas limitadas e
> integráveis neste intervalo (ou seja, em L^1), limitadas uniformemente
> pela funç~ao 1, se uma subseqüência convergisse pontualmente para
> algum lugar (digamos g(x), que é limitada e mensurável pois todas s~ao
> uniformemente limitadas por 1 e mensuráveis), logo está em L^2), pelo
> teorema de Convergência Dominada,
> \int_0^2pi | (sin(k_n*x) -g) - (sin(k_m*x)-g) |^2 dx convergiria para
> zero (use ConvDom para cada metade mais desigualdade triangular na
> integral com eps/2).
> Mas isso é exatamente || sin(k_n*x) - sin(k_m*x) ||_2 (norma L^2), que
> nós sabemos que vale \sqrt(2), pois eles s~ao ortogonais, e assim n~ao
> pode convergir pra zero. (isso é basicamente f_n -> f pontualmente, f
> está em L^1 => f_n -> f em L^1 adaptado pra L^2 e com a
> contrapositiva...)
>
> Resta mostrar que estas funç~oes s~ao realmente ortogonais em L^2, o
> que é uma tarefa de integraç~ao: calculemos \int_0^2pi
> sin(n*x)sin(m*x) dx para m != n
>
> I = \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m/n \int_0^2pi cos(n*x)cos(m*x)
> dx = m^2/n^2 \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m^2/n^2 I (2 vezes por
> partes)
> Logo I(1 - m^2/n^2) = 0, o que diz que I = 0
>
> Bom, parece longo, mas a idéia básica é a seguinte (tipo "resumindo"):
> sin(n*x) é ortonormal em L^2, logo n~ao converge pra lugar nenhum.
> Como convergência pontual + limitaç~ao implica convergência L^2, n~ao
> pode convergir pontualmente. O resto é detalhe.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
>
> On 10/10/05, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
> > Este problema eh interessante, e a unica prova que conheco nao eh muito
> > evidente. Talvez haja uma solucao mais simples:
> >
> > Mostre que a sequencia de funcoes (sen(n*x)), n=1,2,3....., x em [0,
> 2*pi],
> > nao contem nenhuma sub sequencia convergente em todo este intervalo.
> >
> > Artur
> >
> > O interessante eh que temos uma sequencia uniformemente limitada de
> funcoes
> > continuas, definidas em um conjunto compacto, e que mesmo assim nao tem
> > nenhum asubsequencia convergente.
> >
> > Artur
> >
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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