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RES: RES: [obm-l]



Na realidade, complica muito pouco. Pelo produto de Stevin e MA >=MG dah facilmente pra ver que, tambem neste caso mais geral, o minimo ocorre quando os a_i sao iguias.
 
Artur
 
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Artur Costa Steiner
Enviada em: terça-feira, 4 de outubro de 2005 11:18
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RES: RES: [obm-l]

Esta solucao ficou bem legal! bem mais interessante que usando calculo.
 
Mas e tivessemos algo mais geral do tipo,
 
minimizar (k + a_1).....(k +_a_n),     k>0
 
dado que a_1 * a_2 *.....a_n = p
 
a_1,...a_n >0, entao acho que a solucao algebrica ia complicar, embora talvez ainda de pra sair pelo produto de Stevin e desigualdade MA >= MG. A solucao otima continuria sendo com a_1 = ....a_n = p^(1/n).
 
Neste caso ate que nao eh tao dificil analisar. Soh hah um ponto extremo, a funcao eh limitada inferiormente, ela e a as restricoes sao classe C^2  
 
Artur

 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de claudio.buffara
Enviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005 20:03
Para: obm-l
Assunto: RE: RES: [obm-l]

Talvez um enunciado mais claro pro problema original seja o seguinte:
 
Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer cujo produto é 1, então:
(1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 2^n
e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 <= i <= n.
 
Agora, sabemos que se o produto de m números positivos for 1, então a soma desses números é >= m com igualdade se e somente se todos os números são iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA >= MG).
 
Expandindo o lado esquerdo, teremos:
1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde:
S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k.
Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n,
S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n
...
S_n = a_1*a_2*...*a_n.
 
É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo produto é 1, de modo que S_k >= Binom(n,k).
 
Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que:
1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) = 2^n.
 
Finalmente, vale a igualdade <==>
S_1 = Binom(n,1) = n <==>
a_1 = ... = a_n.
 
[]s,
Claudio.
 
 
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 3 Oct 2005 19:02:31 -0300
Assunto: RE: RES: [obm-l]
> Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa "solução" que nem exigi
> muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto.
>
> []s,
> Daniel
>
> '>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade,
> o
> '>'problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadores
> de
> '>'Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas nao
> '>'necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, para se
> decidir
> '>'se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto extremo, eh
> maximo
> '>'ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda ordem, no
> caso
> '>'em que o problema, como este, tem funcao objetivo e restricoes com derivadas
> '>'parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além disto, precisamos
> '>'garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de modo geral,
> exige
> '>'condicoes de convexidade ou concavidade.
> '>'Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a casos como
> este,
> '>'em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam simetria. Nao me
> lembro
> '>'dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que o ponto
> eh
> '>'maximo ou minimo global.
> '>'
> '>'Artur
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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