RE: [obm-l]

[kleinad2@xxxxxxxxx]

Olá!

Bem, todas as n raízes de p são reais (para que faça sentido falar que todas
são negativas), portanto p(x) = (x + y_1)*(x + y_2)* ... *(x + y_n), onde
y_i > 0 para todo i. A idéia é encarar p(1) como função de y_1, ..., y_n
sujeita às condições y_i > 0 e y_1*...*y_n = 1, e usar multiplicadores de
lagrange para concluir que y_1 = ... = y_n = 1 gera um mínimo dessa função
sobre a superfície y_1*...*y_n = 1.

Justamente, por esse método, notando que estamos com f(y_1,..., y_n) = p(1)
e g(y_1,...,y_n) = y_1*...*y_n = 1 boas o suficiente para aplicar lagrange,
vem que existe um real u tal que

f_(y_i) = u*g_(y_i) para todo i, onde h_(y_i) é a derivada parcial de h
em relação à variável y_i.

Assim, temos o seguinte:
f(y_1,...,y_n)/(1 + y_i) = u*g(y_1,...,y_n)/y_i para todo i, de maneira
que

y_i/(1 + y_i) = y_j/(1 + y_j) ==> y_i = y_j para todo i, j.

Como o produto de toda a galera é 1, vem que y_1 = ... = y_n = 1 para todo
mundo, de modo f(1,...,1) = 2^n é um ponto de mínimo, logo p(1) >= 2^n quaisquer
que sejam as raízes negativas com módulo dando produto 1.

[]s,
Daniel

 '>'seja um polinômio de grau n. todas as suas raízes são < 0. O termo 
independente
 '>'e o coeficiente da maior potência tem valores númericos igual a
 '>'unidade. Provar que P(1) > 2 elevado a n ; ou P(1)  = 2 elevado a n.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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