|
Olá pessoal,
Eu participei de uma discussão em um fórum que me
causou uma séria confusão. Há um usuário afirmando que não existe raíz de reais
negativos para qualquer índice, pois as propriedades dos expoentes levariam a um
absurdo. O caso dos índices pares é óbvio, mas os ímpares me deixam com a pulga
atrás da orelha.Caso eu consiga analisar passagem
por passagem da demonstração que isso leva a um absurdo matemático, eu aceitarei
de pés juntos. Sei que a lógica pode levar a coisas que nós achamos
estranhas...
Primeiramente foi postado o seguinte:
Proposição: Em R. Se
rt[n](x^n) = x, qualquer x real e n natural maior ou igual a 2, então x =
-x.
Demonstração: x = rt[n] (x^n) = rt[2n] (x^2n) =
rt[2n] [(-x)^2n] = -x
Mas como a proposição é para qualquer n, até mesmo
os pares, isso me parece óbvio pois todos sabemos que rt[2](x^2) = sqrt(x^2) =
|x|. Então propus que se colocasse na hipótese que x < 0 e n ímpar. Após isso
foi dado um contra-exemplo:
-2 = rt[3] (-8) = rt[3x2] [(-8)^2)] = rt[3x2]
(64) = rt[3](8) = 2 e ainda afirmou que a alteração na hipótese é desnecessária
pois a primeira demonstração cobre todo os valores de x e n.
Algumas passagens acimas me deixaram em dúvida. Já
que estamos tratando de um nível tão baixo da matemática então devemos
justificar e estar cientes de tudo que fazemos. A exponenciação sempre foi um
problema pra mim em demonstrações rigorosas. Estou lançando a discussão aqui na
lista com o intuito de entender e compartilhar.
Bruno Bonagura
Obs.: Segue o link do tópico que gerou a discussão
( http://www.somatematica.com.br/forumsm/viewtopic.php?t=5824 )
|