[obm-l] Teoria da Medida

[Cleiton Silva <cdpss1981@xxxxxxxxxxxx>]

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Notação: 
1) Borel_([a,b]) é a menor sigma-algebra gerada pelos
abertos do intervalo [a,b] (a métrica é a usual: |.|);

2) Borel_(R) é a menor sigma-algebra que contém todos
os abertos da reta.

3) f:R -> R uma função Borel mensurável: Sigma_(f) é a
menor sub-sigma-algebra de Borel_(R) com relação a
qual f é mensurável.

4) A um subconjunto da reta; 1-A={x da reta : x = 1-a,
a pertencente a A}
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Problema:
Seja g:[0,1]->R borel mensurável qualquer, tal que
g(w)=g(1-w). Mostre que:

a) Sigma_(f) ={ B subconjunto de [0,1] : B=A UNIAO
(1-A), A pertence ao Borel_([0,1/2]) };

b) Seja h:[0,1]->R mensurável com respeito a Sigma_(f)
(ou seja h é tal que Sigma_(h) está contido em
Sigma_(f)). Mostre que h é tal que h(w)=h(1-w);

c) Existe alguma h Sigma_(f) mensurável tal que
Sigma_(h) é subconjunto PRÓPRIO de Sigma_(f)? Se sim,
dê um exemplo; se não, justifique.

[]'s


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