Re: [obm-l] Convergencia e ponto fixo

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Um jeito mais direto eh observar que, como x[n]
converge para a e phi eh continua nos reais, entao
phi(x[n]) converge para phi(a). Mas, como x[n] e dada
de forma recorrente, phi(x[n]) = x[n+1}, de modo que
phi(x[n]) eh a subsequencia de x[n] obtida
escolhendo-se os termos x[2], x[3],..... Como esta
ultima converge para a, o mesmo se verifica para
x[n+1} = phi(x[n]). E como phi(x[n]) tambem converge
para phi(a), segue-se que phi(a) = a, de modo que a eh
ponto fixo de phi.

Artur

---  <bfreis@gmail.com>Bruno França dos Reis wrote:

> Oi, gente.
> Eu tava fazendo minha lista de cálculo numérico,
> quando chego a este 
> exercício:
> 
> Prove ou dê um contra-exemplo:
> Se phi é uma função contínua definida nos reais, e a
> sequência x[n+1] = 
> phi(x[n]) converge, então x[n] converge para um
> ponto fixo de phi.
> 
> Acredito que seja verdade. Aqui vai minha demo:
> 
> Se x[n] converge, podemos dizer que converge a um
> numero a. Isto é 
> equivalente a: Para todo delta > 0, existe N natural
> tq n > N ==> |x[n] - a| 
> < delta.
> Pela continuidade de phi, temos: para todo eps > 0,
> existe delta > 0, que 
> podemos tomar delta < eps, tal que x \in [a - delta,
> a + delta] ==> |phi(x) 
> - phi(a)| < eps.
> Podemos escrever que phi(a) = a + c, para algum c
> real. Então temos:
> Para todo eps > 0, existe delta, 0 < delta < eps, e
> existe N natural, tal 
> que:
> n > N ==> |x[n] - a| < delta <==> x[n] \in [a -
> delta, a + delta] ==> 
> |phi(x[n]) - phi(a)| < eps <==>
> <==> |x[n+1] - (a + c)| < eps <==> |c + (a -
> x[n+1])| < eps <==> -eps < c + 
> (a - x[n+1]) < eps <==>
> <==> -eps -(a - x[n+1]) = -(eps + (a-x[n+1]) < c <
> eps + (x[n+1] - a)
> Mas como |x[n+1] - a| < delta < eps <==> -eps <
> -delta < x[n+1] - a < delta 
> < eps ==> 0 < eps + (x[n+1] - a) < 2eps, e também
> -(2eps) < -(eps + (a - 
> x[n+1])) < 0
> Logo, -2eps < c < 2eps. Como isso vale para qualquer
> eps real positivo, não 
> importando quão pequeno seja, c só pode ser 0 (por
> intervalos encaixantes). 
> Então phi(a) = a. Então x[n] converge para um ponto
> fixo de phi.
> 
> 
> 
> Tá certo isso aí?
> Tem algum jeito mais direto? Ou a idéia tem que ser
> essa mesma?
> 
> Abraço
> Bruno
> 
> 
> -- 
> Bruno França dos Reis
> email: bfreis - gmail.com <http://gmail.com>
> gpg-key:
>
http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> icq: 12626000
> 
> e^(pi*i)+1=0
> 


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