RE: [obm-l] Desigualdade

[kleinad2@xxxxxxxxx]

Olá!
Considere o polinômio f(c) = c^3 - (3ab)c - (a^3 + b^3). Como estamos num
triângulo, a idéia é mostrar que no intervalo (0, a + b) o polinômio é negativo.

Repare que (a + b) é raiz de f. Dividindo f por c - (a + b), você chega
no polinômio g(c) = c^2 + (a + b)c + (a + b)^2 - 3ab. O discriminante dele
é (a + b)^2 - 4(a + b)^2 + 12ab = -3(a - b)^2, logo se a for diferente de
b, g não tem raízes reais. Neste caso, f mantém sinal constante para c menor
do que (a + b). Como a + b > 0, basta calcular f(0) = - (a^3 + b^3) < 0
para saber o sinal em c < a + b, o que prova este caso.

Quando a = b, a raiz (dupla) de g é -a, menor que zero portanto. Assim,
f mantém sinal constante em (- a, a + b), o mesmo que em (0, a + b). Como
f(0) < 0, acabou.

[]s,
Daniel



 '>'Sejam a, b, e c as medidas dos lados de um triângulo. Prove a desigualdade
 '>'
 '>'            a^3+b^3 + 3abc>c^3.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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