[obm-l] [OFF-TOPIC] C^{1}([0,1]) é denso em C^{1}_{S}([0,1])??

["lgita-2002" <lgita-2002@xxxxxxxxxx>]

Novamente, desculpem o [OFF-TOPIC], mas alguém poderia me ajudar a PROVAR A VERACIDADE ou FALSIDADE DE:

C^{1}([0,1]) é um conjunto denso em C^{1}_{S}([0,1]) com a métrica:

d(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|:x em [0,1]} + sup{|f'(x)-g'(x)|:x em [0,1]},

onde f'(x) é a derivada de f no ponto x.


Sou grato por qualquer ajuda.

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Notação:
1) C^{1}([0,1]) -> conjunto das funções f:[0,1]-> R (reais) contínuas que
possuem derivada derivada primeira contínua.

2) C_{S}([0,1]) -> conjunto das funções f:[0,1]-> R (reais) que tem um número FINITO de descontinuidades do "tipo salto": são contínuas pela DIREITA (define-se que ela seja continua pela direita) e tem limite FINITO pela esquerda.
Exemplo: f(x) é igual a 1 se x<0 e igual 2 se x>=0;

3) se f pertence a C_{S}([0,1]) dizemos que ela é SECCIONALMENTE CONTÍNUA.

4) C^{1}_{S}([0,1]) -> conjunto das funções f:[0,1]-> R (reais) que são contínuas com derivada que é seccionalmente contínua (ou seja, a derivada pertence a C_{S}([0,1]) )

Exemplo:  |x| pertence a C^{1}_{S}.
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[]'s
Gustavo


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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