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[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração



Use essa versão do teorema de Lindemann:
Se A1, A2, A3 são números algébricos não-nulos e b, c são números algébricos não-nulos distintos
então
A1 + A2*exp(b*t) + A3*exp(c*t) <> 0.
 
Nesse caso, cos(n) = (1/2)*exp(i*n) + (1/2)*exp(-i*n).
Daí, segue facilmente que se r é racional, então
-r + (1/2)*exp(i*n) + (1/2)*exp(-i*n) <> 0,
uma vez que -r, 1/2, i*n e -i*n são claramente algébricos que satisfazem as condições do enunciado do teorema.
 
Em suma, para todo n inteiro e r racional, cos(n) <> r.
 
Repare que n pode ser até racional que o resultado continua valendo.
 
Para uma demonstração (não-elementar) do teorema de Lindemann, dê uma olhada em: http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/main785.html
e selecione o pdf que trata do teorama de Lindemann.
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 30 Aug 2005 23:02:42 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Demonstração
> E na verdade, basta demonstrar que cos(2n) é irracional para todo n
> natural. Pois, supondo, por absurdo mais uma vez, que tan(n) é
> racional chegaríamos a uma contradição se tivéssemos mostrado que
> cos(2n) é irracional. E minha sugestão para este último é utilizar
> série de fourier e tentar algo parecido com a demonstração de que e é
> irracional. Ainda estou tentando fazê-lo. Obrigado!
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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