[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Use essa versão do teorema de Lindemann:

Se A1, A2, A3 são números algébricos não-nulos e b, c são números algébricos não-nulos distintos

então

A1 + A2*exp(b*t) + A3*exp(c*t) <> 0.

 

Nesse caso, cos(n) = (1/2)*exp(i*n) + (1/2)*exp(-i*n).

Daí, segue facilmente que se r é racional, então

-r + (1/2)*exp(i*n) + (1/2)*exp(-i*n) <> 0,

uma vez que -r, 1/2, i*n e -i*n são claramente algébricos que satisfazem as condições do enunciado do teorema.

 

Em suma, para todo n inteiro e r racional, cos(n) <> r.

 

Repare que n pode ser até racional que o resultado continua valendo.

 

Para uma demonstração (não-elementar) do teorema de Lindemann, dê uma olhada em: http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/main785.html

e selecione o pdf que trata do teorama de Lindemann.

 

[]s,

Claudio.

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:

Tue, 30 Aug 2005 23:02:42 -0300

Assunto:

Re: [obm-l] Demonstração

> E na verdade, basta demonstrar que cos(2n) é irracional para todo n

> natural. Pois, supondo, por absurdo mais uma vez, que tan(n) é

> racional chegaríamos a uma contradição se tivéssemos mostrado que

> cos(2n) é irracional. E minha sugestão para este último é utilizar

> série de fourier e tentar algo parecido com a demonstração de que e é

> irracional. Ainda estou tentando fazê-lo. Obrigado!

>

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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

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