[obm-l] Ajuda com um problema sobre teoria de medidas

Numa demonstracao sobre convexidade, eu vi uma afirmacao que nao estou conseguindo demonstrar e gostaria de alguma ajuda. Eu acho que ainda me falta conhecimento para prova-la.

Se A eh um subconjunto de R com medida de Lebesgue positiva, entao o conjunto B = (A + A)/2 = {(x+y)/2 | x e y estao em A} contem um intervalo aberto nao vazio.

Eu consegui 2 sugestoes para provar isto, mas nao estou conseguindo. A primeira, eh usar o Teorema da Densidade de Lebesgue (nao o conheco). A segunda, diz para considerar a convolucao da funcao caracteristica do conjunto A. Sendo g esta convolucao, mostrar que g eh continua, logo Lebesgue-integravel. Mostrar entao que a integral de g em A e m(A)^2, sendo m(A) a medida de Lebesgue de A (nao consegui demonstrar estas afirmacoes). Sabendo-se entao que g nao eh identicamente nula, pois tem integral positiva, e eh continua, segue-se que existe um intervalo aberto no qual g nao se anula (isto eh facil de concluir). A partir deste ultimo fato, concluir entao (nao sei porque) que B contem um intervalo aberto nao vazio.