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1-22+32-42+...+(-1)n-1
. n2 = (-1)n-1 .
n(n+1) 2
Veja bem, por Induçao finita, estará provada a identidade acima se somente se (A) o caso n=1 for provado e (B) o caso n implicar no caso n+1. Não é dificil verficar que para n=1 a expressão está correta, afinal 1 = 1 * 1 (1+1)/2 Já para a segunda parte, chame o primeiro membro de Somatorio de (-1)^n-1 . n^2 para n que varia de 1 a um parametro k. pois bem, então o
caso n+1 resultará num som(n variando de 1 a k+1), que deve ser igual a (-1)n .
(n+1)(n+2) 2 Desmembrando a ultima parte do somatório, ter-se-a o somatório inicial mais a parcela na qual n=k+1. fazendo a igualdade, substituindo o somatório inicial pela expressão primeira, verificar-se-a a identidade, bastam algumas simples simplificações algebrcias.
Curioso ver que é exatamente o somatório dos n primeiros naturais (e o sinal depende do último sinal da soma)... Se quiser passo a passo, mais completo, mande emails! Grande abraço
Renato
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