Re: [obm-l] livro do morgado SBM dúvida

[Danilo Nascimento <souza_danilo@xxxxxxxxxxxx>]

Como 720 = 2^4*3^2*5, a*b*c = 720 ==>
>
> a = 2^a1*3^a2*5^a3
> b = 2^b1*3^b2*5^b3
> c = 2^c1*3^c2*5^c3
>
> com a1+b1+c1 = 4, a2+b2+c2 = 2, a3+b3+c3 = 1. Essas três equações são
> independentes e têm C(6;2), C(4;2), C(3;2) soluções, respectivamente. Logo o
> número total de maneiras é 6*5*4*3*3*2/2^3 = 270.

 

No entanto  270 eh o numero de triplas ordenadas (a,b,c) de inteiros positivos tais que a*b*c = 720.

Por exemplo, as triplas (1,1,720), (1,720,1) e (720,1,1) sao consideradas distintas na sua solução, mas na verdade representam uma única decomposição de 720.
 
720 nao é cubo perfeito. Logo, não possui nenhuma decomposição da forma "a*a*a".
 
Por outro lado, existem 6 decomposições de 720 da forma "a*a*b".
São elas: 1*1*720, 2*2*180, 3*3*80, 4*4*45, 6*6*20 e 12*12*5.
Cada uma delas corresponde a 3 triplas.
 
Todas as demais têm os 3 fatores distintos, de forma que cada uma corresponde a 6 triplas. Portanto, o número destas é igual a (270-3*6)/6 = 42.
 
Logo, o número de decomposições distintas de 720 como produto de três inteiros positivos (a menos da ordem dos fatores) é igual a 42 + 6 = 48

Abraços,

               Danilo

Tio Cabri st <ilhadepaqueta@bol.com.br> escreveu:

Alguém poderia me ajudar com o exercício do livro Análise Combinatória do Morgado e outros da SBM.

É o número 25 letra c que diz o seguinte:

 

De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de três inteiros positivos?

 

Resposta é 48

 

[]'s Hermann

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