Re: RES: [obm-l] limite de uma sequencia

[Marcos Martinelli <mffmartinelli@xxxxxxxxx>]

   De fato, calcular esse polinômio característico de grau k deve ser
muito difícil. Mas eu percebi que 1 seria raiz desse polinômio, então
fiz a seguinte abordagem para o problema. (u_n é a sequência das
médias ponderadas)
   u_n=somatório(1<=i<=k)[p*_i*u_(n-i)], onde
p*_i=(p_i)/[somatório(1<=j<=k)p_j], para todo i tal que 1<=i<=k. Seja
agora U um vetor do R^k tal que U_n é dado por:
   U_n=[u_n,u_(n-1),u_(n-2),...,u_(n-k+1)]T.
   obs1: Aqui []T significa vetor coluna.
   obs2: U_k=[u_k,u_(k-1),u_(k-2),...,u_(k-k+1)]T é um vetor
conhecido. Dados iniciais do problema.
   E agora observe que U_nT=A*U_(n-1)T, onde A é uma matriz quadrada
de dimensão k dada como abaixo:
   
   | p*_1  p*_2  p*_3 ... p*_k|
   |    1       0       0  ...    0  |
   |    0       1       0  ...    0  |
   |    .        .        .  .      .   |
   |    .        .        .   .     .   |
   |    .        .        .     .   .   |
   |    0       0       0  ...    1  |
   Mas essa é uma matriz de Markov pois todos os elementos são
positivos e a soma de todas as linhas vale 1. Tomando o polinômio
característico dessa matriz que, na verdade, coincide com a equação
característica da recorrência associada, observamos que 1 é raiz do
mesmo. Essa, aliás, é uma propriedade de qualquer matriz de Markov.
Creio não ser difícil provar que todas as raízes têm multiplicidade
algébrica igual a 1. Basta olhar para o polinômio e sua derivada.
Assim todos os autovetores são l.i e podemos escrever então:
   U_n=somatório(1<=i<=k)[c_i*(t_i)^(n-k)*x_i], onde t_i são
autovalores e x_i são os correspondentes autovetores. Mas todos os
outros autovalores possuem módulo menor do que 1 (Propriedade das
Matrizes de Markov), mesmo que complexos. E assim:
   lim U_n=c_m*x_m, onde x_m corresponde ao autovetor associado a
t_m=1 e o escalar c_m é obtido quando escrevemos U_k como um vetor
gerado pela base de autovetores. Isso prova que o limite existe e
indica como calculá-lo.
   Realmente, essa é uma álgebra complicada, haja visto que omiti
várias passagens.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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