[obm-l] Olimpíada na Bulgaria

[nilton rr <nilton1a10@xxxxxxxxxxxx>]

Ola, pessoal ! Temos noticias da Bulgaria.
Ja ocorreram os dois dias de prova.
Seguem as questoes abaixo do dia 1.

1) Considere a matriz A n x n tal que a(i,j) = i+j.
Determine o posto de A.

2) Considere o conjunto S(n) definido por
{(x(1),x(2),...,x(n)) : 
x(1),x(2),...,x(n) pertencem a {0,1,2} }.
Seja A(n) = { (x(1),x(2),...,x(n)) em S(n) : para todo
i<n-1,
|{x(i),x(i+1),x(i+2)}| > 1.} Seja B(n) =
{(x(1),x(2),...,x(n)) em S(n)
: x(i) = x(i+1) implica x(i) diferente de zero.
Mostre que |A(n+1)| = 3*|B(n)|.
Obs: |X| indica o numero de elementos do conjunto X.

3) Seja f:R -> [0,oo). Seja I = integral de 0 a 1 fa
funcao f. Seja J
a integral de 0 a 1 da funcao f3. Seja M o maximo de
|f `(x)| no
intervalo [0,1]. Prove que |J-I*(f (0))2| <= M * I2.

4) Determine todos os polinomios de grau n que possuam
apenas raizes
racionais tais que seus coeficientes sejam uma
permutacao de
(0,1,2,...,n).

5) Considere f:(0,oo) -> R tal que |f ``(x) + 2x f
`(x)+(x2+1)f(x)| <
1. Prove que f(x) -> 0, para x -> oo.

6) Dado um grupo G, defina G(m) como o grupo gerado
pelas m-esimas
potencias dos elementos de G. Prove que se G(m) e G(n)
sao
comutativos, entao G(mdc(m,n)) tambem e comutativo.

2º Dia
Dia 2

1) Considere f(x) = x2 + bx + c. Seja M = {x real :
|f(x)| <= 1}.
Prove que a medida de M e menor que 2*sqrt(2).

2) Seja f:R->R uma funcao tal que f^n e polinomio para
n= 2,3,4,5,...
. Necessariamente f precisa ser polinomio ?

3) Seja V um subespaco do espaco das matrizes n x n
tal que:
se X, Y estao em V, entao tr(XY) = 0. Determine a
maior dimensao
possivel que pode ter V.

4) Considere f:R->R tres vezes diferenciavel. Prove
que existe um K no
intervalo (-1,1) tal que f ```(K)/6 = (f(1)-f(-1))/2 -
f ` (0).

5) Determine todos os valores de r>0 tais que, para
toda funcao
f:R2->R diferenciavel tal que |grad f(0,0)| = 1 e
|grad f(u) - grad
f(v)| <= |u - v| para todos u , v em R2, o maximo da
funcao f no
disco {u em R2 : |u| <=r} e assumido em exatamente um
ponto.

6) Seja r = p+q*sqrt(7), onde p e q sao racionais.
Prove que existem
a, b, c e d inteiros tais que:
(i) ad-bc = 1
(ii) (ar+b)/(cr+d) = r
(iii)(a,b,c,d) e diferente de + - (1,0,0,1).





	
	
		
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