Muito obrigado, Bruno. A 2ª já entendi.
Quanto a primeira questão consegui resolvê-la da seuinte maneira:
A^2 = 0
A^2 - I^2 = 0 - I^2
(A+I)(A-I) = -I x(-1)
-(A+I)(A-I) = I
(-A-I)(A-I) = I
Logo, (-A-I) é a inversa.
Acho que não está certa...não sei se isso vale pra matrizes: A^2 - I^2 = (A+I)(A-I)
Alguém pode me ajudar?
Obrigado
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------O que vc não entendeu?
2) Qual é a definição de matriz inversa? Se B é inversa de A, então B é tal que AB = BA = I, certo?
Muito bem. Qual é a definição de multiplicação de matrizes?
Se A é m x n, e B é p x q (parafraseando o Shine), o produto AB, por definição, é uma matriz C mxq, que só está definido se n = p (também por definição). Simplesmente aceite as definições. Se vc não entender alguma, pergunte. (ou vá a algum livro... o do Iezzi, Fundamentos de Matemática Elementar, é legal)
Numa linguagem bem "chula', devemos ter que o segundo número do tamanho da primeira matriz deve ser igual ao primeiro número do tamanho da segunda matriz.
OU SEJA: para que o produto C = AB possa existir, devemos ter n = p, POR DEFINIÇÃO.
Queremos então saber condições para que A seja invertível. SE A é invertível, ENTÃO existe B tal que AB = BA = I. De AB = I, tiramos que n = p (*), para que AB esteja definido. De BA = I, tiramos que m = q (**). Ainda pela definição de produto, AB é uma matriz de tamanho mxq, e BA é uma matriz de tamanho nxp. De AB = BA, por igualdade de matrizes (i.e., por definição de igualdade de matrizes), devemos ter que os tamanhos de AB e BA são iguais. Logo m = n, p = q (***).
De (*), (**) e (***) (não precisa de tudo isso, mas enfim...), tiramos que m=n=p=q, ou seja, as matrizes A e B são quadradas, de mesmo tamanho.
Quanto ao 1: não vejo uma solução mais simples que a do Shine. O que tem de muito avançada? Aí a gente pode tentar explicar melhor.
Abraço
Bruno
1) Seja A uma matriz nilpotente nxn, mostre que A -In é inversível e obtenha sua inversa.
Gostaria de saber como resolvo este tipo de questão organizadamente, separando a hipótese a tese, essas coisas.
-> Ainda não entendi as resoluções deste exercício. São muito avançadas pra mim. Não tem um jeito mais fácil?
2) A matriz inversa é A-1, onde A-1.A = A.A-1=I
Por que preciso garantir a matriz A sendo nxn?
-> Também ainda não entendi o porquê de ser nxn
Obrigado.