[obm-l] Serie convergente

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Ola a todos

Hah poucos dias vimos que, se a_n eh uma sequencia de termos positivo e
Soma(n>=1) a_n diverge, entao Soma(n>=1)(a_n)/(k + a_n), k>0, tambem
diverge. 

Suponhamos agora que Soma(n>=1) a_n = s, s em R. Consideremos inicialmente o
caso em que s<=k. Seja s_n = a_1 ...+ ...a_n. Adotando um raciocinio
semelhante ao que o Claudio adotou, para todo n temos s_n < s. Logo, tambem
para todo n>=2 temos s_(n-1) + a_n = < s + a_n <= k + a_n. Como s_(n-1) +
a_n = s_n, para n>=2 temos que s_n < k + a_n e, portanto, (a_n)/(k + a_n)) <
(a_n)/(s_n). Conforme tambem jah vimos, o fato de Soma(n>=1)a_n convergir
implica que Soma(a_n)/(s_n) tambem convirja.  Como se tratam de series de
termos positivos, concluimos entao, por comparacao, que Soma(n>=1)(a_n)/(k +
a_n) tembem converge.

Resta agora analisar o caso s > k. Nao cheguei ainda a uma conclusao.

Artur 
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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