[obm-l] Prova da IMO - Primeiro dia

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi gente,

Acabei de ver a primeira prova da IMO no site
http://www.mathlinks.ro/

Lá vão os enunciados (eu mesmo traduzi agora).

1. Escolhemos seis pontos sobre os lados do triângulo
equilátero ABC: A_1, A_2 sobre BC; B_1, B_2 sobre AC;
C_1, C_2 sobre AB. Essa escolha é feita de modo que
A_1A_2B_1B_2C_1C_2 é um hexágono convexo com todos os
seus lados iguais.

Prove que A_1B_2, B_1C_2 e C_1A_2 são concorrentes.

2. Seja a_1,a_2,... uma seqüência de inteiros com
infinitos termos positivos e negativos. Suponha que
para todo n inteiro positivo os números
a_1,a_2,...,a_n deixam n restos diferentes na divisão
por n.

Prove que todo inteiro aparece exatamente uma vez na
seqüência a_1,a_2,...

3. Sejam x,y,z reais positivos tais que xyz >= 1.
Prove que
(x^5-x^2)/(x^5+y^2+z^2) + 
(y^5-y^2)/(x^2+y^5+z^2) + 
(z^5-z^2)/(x^2+y^2+z^5) >= 0.

[]'s
Shine


		
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