Re: [obm-l] numeros binomiais, conjectura

[Eric Campos <mathfire2001@xxxxxxxxxxxx>]

--- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
<peterdirichlet2003@yahoo.com.br> escreveu:

> Nao sei se e uma boa ajuda, mas um pensamento
> combinatorio no forno:
> 
> --- Eric Campos <mathfire2001@yahoo.com.br>
> escreveu:
> > Sejam 
> > 
> > n = n_1 + n_2 +...+ n_t 
> > A = A_1 + A_2 +...+ A_t
> > 
> > Entao
> > 
> > soma(produto(C(A_j,n_j),j=1..t),n_1+...+n_t=n) =
> > C(A,n)
> > 
> > Alguns casos particulares sao faceis de ver, por
> > exemplo:
> > 
> > C(A+B,2)=C(A,2)C(B,0)+C(A,1)C(B,1)+C(A,0)C(B,2)

---- Sugestao de Dirichlet:
 
> -- Podemos encarar esta sominha como
> -- escolher um grupo de N(=A+B) pessoas, de um 
> -- grupo com A homens e B mulheres 
(agora vamos verificar de quantos modos podemos
escolher conjuntos com 2 elementos deste grupo de N
pessoas)
> -- O primeiro lado e obvio (C(A+B,2)). Mas o segundo
> -- e tao simples quanto:
> -- escolhemos um grupo de X homens (X=0,1 ou 2),
outro 
> -- grupo de N-X mulheres(N-X=2,1 ou 0). Fazendo X
variar, fim! (principio multiplicativo)

Esta sua sugestao eh otima! Principalmente porque pode
ser generalizada. Prova o caso C(A+B,2) para A e B
inteiros. Porem isto pode ser feito bracalmente e eh
facil ver que a identidade vale para A e B
complexos... O interessante eh a generalizacao natural
que decorre de sua ideia.

Parece natural estender sua sugestao para calcular

C(A+B,3)=C(A,3)+C(A,2)C(B,1)+C(A,1)C(B,2)+C(B,3)

para A e B inteiros. Esta identidade vale tb para
A e B complexos, conforme verifiquei no Maple.

Usando Algebra Elementar eh facil mostrar que 

> > C(A+B+C,n)=C((A+B)+C,n)=
> > =soma(C(A,i)C(B,j)C(C,k),0<=i,j,k<=n,i+j+k=n)

desde que se admita que:

> > C(A+B,n)=soma(C(A,i)C(B,n-i),i=0..n)

A prova do caso geral estah em aberto: 

soma(produto(C(A_j,n_j),j=1..t),n_1+...+n_t=n) =
= C(A,n)

para A_j complexo, j=1,2,...t
(o caso A_j inteiro parece sair facil com a sugestao
do Dirichlet...)

Abrac,os!



=======================================
geocities.yahoo.com.br/mathfire2001
Enciclopedia de Matematica - Aulas
Formulas para primos - Grupos de Estudo
Projeto Matematica para Todos
mathfire2001@yahoo.com.br
=======================================

__________________________________________________
Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger 
http://br.download.yahoo.com/messenger/ 
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================