Isso tem na maioria dos livros de Analise ou Topologia, mas OK. Seja x pertencente a X. Para toda vizinhanca W, em Z, de gof(x), existe, pela continuidade de g em f(x) , uma vizinhanca V, em Y, de f(x) tal que g(v) pertence a W para todo v de V . Pela continuidade de f em x, existe uma vizinhanca U de x, em X, tal que g(u) pertence a V para todo u de U. Logo, para todo u de U, f(u) pertence a V e, portanto. g(f(u)) = gof(u) pertence a W. Concluimos assim, em ultima analise, que, para toda vizinhanca W de gof(x), existe uma vizinhanca U de x tal que gof(u) pertence a W para tod u de U. Pela definicao, concluimos que gof eh continua em x.Esta eh uma demonstracao puntual, ou seja , mostramos que se f eh continua em x e e g eh continua em f(x), entao gof eh continua em x. Como tais condicoes valem em todo o X e todo o Y, a coontinuidade de gof em X segue automaticamente.Outra forma de mostrar isso, baseados no fato de que sabemos das continuidades de f em X e de g em Y, eh usar o fato de que imagens inversas de conjuntos abertos por funcoes continuas sao conjuntos abertos. Seja A eh um aberto de Z. Temos que gof^(-1)(A) = f^(-1)(g^(-1)(A)). Pela continuidade de g em Y, temos que g^(-1)(A) eh um aberto de Y; e pela continuidade de f em X, temos que . f^(-1)(g^(-1)(A)) = gof^(-1)(A) eh um aberto de X. Logo, gof eh continua em XObeserve que, embora se tratem de espacos metricos, estas demonstracoes valem em qualquer espaco topologico.Artur.
[ -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de cleber vieira
Enviada em: terça-feira, 31 de maio de 2005 14:42
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] espaços métricosOs amigos poderiam me enviar uma demonstração clara e rigorosa do seguinte teorema:
Se (X,d),(Y,p) e (Z,w) forem espaços métricos e se f :X --- Y , g :Y --- Z forem (d,p)-contínua e (p,w)-contínua, respectivamente, então gof:X---Z será (d,w)--contínua.
Muito Obrigado.
Vieira
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