Re: [obm-l] raiz negativa de equa��o..

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, May 29, 2005 at 09:13:06PM -0300, Vin�cius Meireles Aleixo wrote:
> Me desculpem se este problema ja estiver sido solucionado aqui na lista....
> Qual � a raiz negativa da equa��o:  
> 
> 2^x - x^2=0

Isto j� foi discutido na lista v�rias vezes sim, mas n�o achei refer�ncia.
A raiz � aproximadamente x = -0.7666646959621230931112044225103148480067.
Como 2^0 - 0^2 = 1, 2^(-1) - (-1)^2 = -1/2, � claro que existe pelo menos
uma raiz no intervalo [-1,0]. Derivando f(x) = 2^x - x^2 � f�cil ver que
f'(x) > 0 para todo x neste intervalo donde a raiz � �nica.
O valor aproximado da raiz (como acima) pode facilmente ser obtido pelo
m�todo de Newton, ou, de forma mais pr�tica, usando maple ou outro software
similar (como eu fiz). Este n�mero claramente n�o � inteiro. Tamb�m n�o
pode ser racional pois se x � racional n�o inteiro ent�o 2^x n�o � racional,
como pode ser provado facilmente a partir do teorema fundamental da aritm�tica.
Este n�mero tamb�m n�o pode ser alg�brico irracional pois sabemos pelo
teorema de Gelfond-Schneider que se x � alg�brico irracional ent�o 2^x
n�o � alg�brico.

Resumindo, a equa��o tem exatamente uma raiz -1 e 0 e esta raiz � um n�mero
transcendente aproximadamente igual a -0.77. Resta a pergunta se este n�mero
pode ser escrito de forma simples em termos de outros transcendentes mais
conhecidos (como pi): a resposta � quase certamente n�o, mas demonstrar que
a resposta � n�o deve ser dif�cil.

[]s, N.

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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