Re: [obm-l] grupo abeliano

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 22.05.05 15:20, Chicao Valadares at chicaovaladares@yahoo.com.br wrote:

> 
> Minha ferrugem em relaçao ao assunto nao esta deixando
> fazer esse aqui: como provo se no grupo temos (xy)^3 =
> x^3y^3, tal grupo é abeliano??
> 
> 
Acho que isso soh eh verdade em geral se a ordem de G nao for um multiplo de
3.

Nesse caso, teremos:
(xy)^3 = x^3y^3  e  (yx)^2 = x^2y^2 ==> (xy)^2 = y^2x^2.

Assim: 
xy = (xy)^3*(xy)^(-2) = x^3y^3x^(-2)y^(-2) ==>
e = x^2y^3x^(-2)y^(-3) ==>
y^3x^2 = x^2y^3

Se |G| = 3m+1, entao x^(3m) = x^(-1) para todo x em G. Logo:
y^(3m)x^2 = x^2y^(3m) ==>
y^(-1)x^2 = x^2y^(-1) ==>
yx^2 = y^2x^2y^(-1) ==>
yx^2 = (xy)^2y^(-1) ==>
yx^2 = xyxyy^(-1) ==>
yx^2 = xyx ==>
yx = xy.

Se |G| = 3m+2, entao x^(3m) = x^(-2) para todo x em G. Logo:
y^(3m)x^2 = x^2y^(3m) ==>
y^(-2)x^2 = x^2y^(-2) ==>
x^2 = y^2x^2y^(-2) ==>
x^2 = (xy)^2y^(-2) ==>
x^2 = xyxyy^(-2) ==>
x = yxy^(-1) ==>
xy = yx.

***

Infelizmente, vou ficar devendo o exemplo de um grupo nao abeliano cuja
ordem eh divisivel por 3. Mas com certeza o Nicolau ou o Gugu vao arranjar
algum.


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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