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Re: [obm-l] Irredutíveis e Anéis
Se p divide (a+b.raiz(3))(c+d.raiz(3)), entao p divide
(a^2-3b^2)(c^2-3d^2), e logo p divide um desses fatores, digamos a^2-3b^2.
Como x^2-3 'e irredutivel, e logo nao tem raiz em Z/pZ, se p divide a^2-3b^2
entao p divide b (senao b e' invertivel em Z/pZ, e a/b e' raiz de x^2-3), e
logo p divide a, donde p divide a+b.raiz(3).
Abracos,
Gugu
>
>
>--_=__=_XaM3_.1115735981.2A.732637.42.23694.52.42.007.339369759
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>Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
>
>Preciso de ajuda com o exerc=EDcio 3 da se=E7=E3o IV.4 do livro Elementos=
> de =C1lgebra (Arnaldo Garcia e Yves Lequain - Projeto Euclides):
>
>a) Mostre que Z[raiz(3)] =E9 isomorfo a Z[x]/(x^2-3).
>
>b) Seja p um primo de Z. Mostre que p =E9 um elemento primo de Z[raiz(3)]=
> se e somente se o polin=F4mio x^2 - 3 =E9 irredut=EDvel em (Z/pZ)[x].
>
>Eu fiz o item (a) mostrando que o ideal (x^2-3) =E9 o n=FAcleo do homomor=
>fismo sobrejetor H:Z[x] -> Z[raiz(3)] dado por H(f(x)) =3D f(raiz(3)) e i=
>nvocando o teorema dos homomorfismos.
>
>No item (b) eu provei que se p =E9 primo em Z[raiz(3)] ent=E3o x^2 - 3 =E9=
> irredut=EDvel (de fato, eu provei o contrapositivo):
>x^2 - 3 n=E3o =E9 irredut=EDvel em Z_p[x] <=3D=3D>
>x^2 - 3 tem uma raiz em Z_p[x] <=3D=3D>
>existe um inteiro a tal que a^2 =3D=3D 3 (mod p) =3D=3D>
>
>p divide a^2 - 3 =3D (a + raiz(3))(a - raiz(3)) em Z[raiz(3)].
>
>Mas p n=E3o divide a + raiz(3) nem a - raiz(3) pois se dividisse, teria q=
>ue dividir os coeficientes de raiz(3) respectivos, iguais a 1 e -1, o que=
> =E9 uma contradi=E7=E3o, pois p =E9 um primo de Z.
>Logo, p n=E3o =E9 primo em Z[raiz(3)].
>
>No entanto, n=E3o estou conseguindo provar a rec=EDproca. Imagino que, de=
> alguma forma, eu tenha que usar o item (a).
>
>Qualquer ajuda ser=E1 bem vinda.
>
>[]s,
>Claudio.
>
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> Elementos de =C1lgebra (Arnaldo Garcia e Yves Lequain - Projeto Euclides=
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><DIV>a) Mostre que Z[raiz(3)] =E9 isomorfo a Z[x]/(x^2-3).</DIV>
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>z(3)] se e somente se o polin=F4mio x^2 - 3 =E9 irredut=EDvel em (Z/pZ)[x=
>].</DIV>
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><DIV>Eu fiz o item (a) mostrando que o ideal (x^2-3) =E9 o n=FAcleo do ho=
>momorfismo sobrejetor H:Z[x] -> Z[raiz(3)] dado por H(f(x)) =3D f=
>(raiz(3)) e invocando o teorema dos homomorfismos.</DIV>
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> 3 =E9 irredut=EDvel (de fato, eu provei o contrapositivo):</DIV>
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>ria que dividir os coeficientes de raiz(3) respectivos, iguais a 1 e=
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><DIV>No entanto, n=E3o estou conseguindo provar a rec=EDproca. Imagino qu=
>e, de alguma forma, eu tenha que usar o item (a).</DIV>
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><DIV>Qualquer ajuda ser=E1 bem vinda.</DIV>
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>Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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