[obm-l] Isomorfismos de Grupos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Sejam:
R = conjunto dos numeros reais;
Q = conjunto dos numeros racionais;
A = conjunto dos numeros algebricos reais (reais que sao raizes de algum
polinomio com coeficientes inteiros);
X+ = conjunto dos elementos positivos de X (X = R, Q ou A).

Sabemos que os grupos (R,+) e (R+,*) sao isomorfos (soma e produto usuais de
numeros reais). Um isomorfismo eh, por exemplo, a funcao exponencial.

Uma pergunta interessante eh: existe algum isomorfismo entre estes grupos
que nao seja uma funcao do tipo f(x) = a^x, com a positivo e <> 1?

A resposta (negativa) eh dada pela solucao do seguinte problema, que jah
apareceu aqui na lista ha tempos, mas como recordar eh viver...:
Seja f uma funcao real tal que f(0) = 1, f(1) = a > 0 e, para quaisquer x e
y reais, f(x+y) = f(x)*f(y).
1) Prove que, para todo racional r, f(r) = a^r;
2) Prove que f eh continua;
3) Prove que f eh diferenciavel;
4) Conclua que f(x) = a^x, para todo x real.
 
Voltando aos isomorfismos, nao eh dificil mostrar que (Q,+) e (Q+,*) nao sao
isomorfos. (dica: se f eh um isomorfismo e f(a) = 2, quem eh f(a/2)?)

O problema acima (mais precisamente, o item 1) tem um corolario
interessante, que nao pode ser demonstrado apenas com o argumento simples
usado no caso dos racionais: (A,+) nao eh isomorfo a (A+,*).
(de fato, eu acho que precisa usar o teorema de Gelfond-Schneider: se a eh
um algebrico diferente de 0 e 1 e b eh um algebrico irracional, entao a^b eh
transcendente).

Alias, um bom exercicio eh provar que estes dois grupos sao realmente
grupos, ou seja, que a soma de dois algebricos reais eh um algebrico real e
o produto de dois algebricos reais positivos eh um algebrico real positivo.

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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