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Defina uma relação R no intervalo [0,1] da seguinte forma:
xRy <==> x - y é racional.
Vou responder só (1) os outros 3 são demais para minha cabeça...:
1) Prove que R é uma relação de equivalência, a qual particiona [0,1] numa
infinidade não-enumerável de subconjuntos (classes de equivalência) enumeráveis,
um dos quais consiste precisamente de todos os racionais nesse intervalo.
a) R é reflexiva xRx = x-x = 0 é racional
b) R é simétrica xRy é racional então y-x é racional
c) R é transitiva xRy = x - y = p é racional yRz y - z
= q é racional então xRz = x-z = p - q é racional (pois
a diferença entre dois racionais é racional.
Logo R é uma relação de equivalência.
Em particular tomando Q[0,1] (conjunto dos
racionais contidos em [0,1])
temos que Q[0,1] é um elemento dessa classe de equivalência
e é enumerável (pois os racionais são enumeráveis).
Para qualquer ponto p pertencente a [0,1] podemos tomar
(p + Q[0,1]) mod 1 (resto da divisão de
qualquer membro deste conjunto por 1) e teremos uma outra classe de
equivalência (prove isso!).
Como p pertence a [0,1] o conjunto dessas
classes de equivalência é não enumerável (pois [0,1] é
não enumerável).
2) Prove que [0,1] tem um subconjunto A que intersecta cada classe de
equivalência num único elemento (não tente construir este conjunto!)
Nossa! Não faço a mínima idéia do que seria esse conjunto...
logo não vou nem me atrever a escrever algo. Vou pensar depois
respondo o resto.
A matemática é mesmo uma caixa de surpresas.
[]s Ronaldo L. Alonso |