[obm-l] =?ISO-8859-15?Q?Re=3A=20=5Bobm=2Dl=5D=20=20quest=E3o=20de=20geo?=

[caiosg@xxxxxxxxx]

A cada 4 vertices distintos que tomarmos do poligono convexo, formaremos
um quadrilatero convexo. O ponto de encontro entre suas
diagonais determina um ponto de interseção entre diagonais do poligono original.
Portanto o numero de intersecções será o numero de quadrilateros que podemos
formar (isso é claro, se nao considerarmos os vertices como pontos de encontro):

Resposta : C(n,4) = n.(n-1)(n-2)(n-3)/4!



 '>'-- Mensagem Original --
 '>'From: kleinad@webcpd.com
 '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão de geo
 '>'Date: Sat, 30 Apr 2005 16:51:41 +0000
 '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'
 '>'Oi,
 '>'O gabarito está respondendo à questão "quantas interseções acontecem
entre
 '>'diagonais acontecem dentro do polígono, excetuando-se, inclusive, as
 '>'interseções nos vértices" e eu respondi à questão "quantas interseções
 '>'acontecem no total, incluindo-se as dos prolongamentos das diagonais
e
 '>'incluindo-se as que ocorrem nos vértices".
 '>'
 '>'OK?
 '>'
 '>'[]s,
 '>'Daniel
 '>'
 '>'Brunno Fernandes (profbrunno@uol.com.br) escreveu:
 '>'>
 '>'>Ola Daniel tudo bem??
 '>'>Obrigado pela força
 '>'>
 '>'>Nesta questão  o gabarito indica
 '>'>[n x (n-1) x (n-2) x (n-3)]/ (1x2x3x4)
 '>'>
 '>'>Estou tentando achar erros mas não estou conseguindo
 '>'>Vou analisar com mais calma, mas queria já te mandar o gabarito e assim
 '>'você
 '>'>pode já ver se tem algum erro
 '>'>Um abraço Daniel
 '>'>Do amigo
 '>'>Brunno
 '>'>
 '>'>
 '>'>----- Original Message -----
 '>'>From:
 '>'>To:
 '>'>Sent: Friday, April 29, 2005 1:42 AM
 '>'>Subject: Re: [obm-l] questão de geo
 '>'>
 '>'>
 '>'>Oi,
 '>'>Eu acho que cheguei na resposta. A idéia é a seguinte:
 '>'>
 '>'>De cada ponto partem (n - 3) diagonais, logo são d = n*(n-3)/2 diagonais
 '>'no
 '>'>total. Para determinar o número máximo de interseções, consideramos
a melhor
 '>'>das hipóteses: três diagonais distintas não se interceptam num mesmo
ponto
 '>'a
 '>'>menos que se trate de um vértice do polígono. Ou seja, fixada uma diagonal,
 '>'>quaisquer outras duas diagonais cortam a primeira em pontos distintos
se
 '>'>estas duas novas diagonais se não cruzam num vértice da primeira.
 '>'>
 '>'>Dito isto, para o cálculo do número de pontos de interseção, imaginamos
 '>'>inicialmente que quaisquer duas diagonais interceptam-se sempre em
pontos
 '>'>distintos. Então seriam d*(d-1)/2 interseções.
 '>'>
 '>'>Só que, na verdade, para cada vértice, existem (n-3) diagonais que
se
 '>'>interceptam nele. Ou seja, até aqui estamos contando (n-3)*(n-4)/2
 '>'>interseções ao invés de uma para cada vértice. Para corrigir o problema,
 '>'>devemos tirar de d*(d-1)/2 as n*((n-3)*(n-4)/2 - 1) interseções contadas
 '>'a
 '>'>mais. Assim, o número máximo de interseções é
 '>'>
 '>'>d*(d-1)/2 - n*((n-3)*(n-4)/2 - 1) =
 '>'>= n*(n-3)*[n*(n-3)/2 - 1]/4 - n*[(n-3)*(n-4)/2 - 1].
 '>'>
 '>'>OBS 1: só vale para n >= 5... Quando n = 4, não existem duas diagonais
 '>'>saindo do mesmo vértice, por isso fica somente d*(d-1)/2 = 1.
 '>'>OBS 2: as diagonais podem interceptar-se fora do polígono!
 '>'>
 '>'>[]s,
 '>'>Daniel
 '>'>
 '>'>Brunno Fernandes (profbrunno@uol.com.br) escreveu:
 '>'>>
 '>'>>Ola pessoal tudo bem?
 '>'>>Poderiam me ajudar nesta questão,
 '>'>>
 '>'>>Determinar o numero máximo de pontos de intersecção das diagonais
de um
 '>'>>poiligono convexo de n lados
 '>'>>
 '>'>>Uma questão muito parecida em que pede o número máximo de pontos de
 '>'>>intersecção dos prolongamentos das diagonais
 '>'>>
 '>'>>Essas são questões do livro de Geometria Plana do livro do Edgard
 de
 '>'>>Alencar Filho
 '>'>>um ótimo livro
 '>'>>Um abraço
 '>'>>Do amigo
 '>'>>Brunno
 '>'>
 '>'>=========================================================================
 '>'>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 '>'>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 '>'>=========================================================================
 '>'>
 '>'>=========================================================================
 '>'>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 '>'>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 '>'>=========================================================================
 '>'>
 '>'
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 '>'Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 '>'http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 '>'=========================================================================



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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