[obm-l] Re: [obm-l] Podem me ajudar com números complexos?

[Sergio Lima Netto <sergioln@xxxxxxxxxxx>]

oi Sonia,
Bem-vinda a lista. Pelo que voce colocou, e principalmente
da forma que voce colocou, parece que voce entende mais de numeros
do que eu. De qualquer forma, vou colocar a minha opiniao de
tudo isto. Nao sei se vai ajudar. Se nao entender ou se cansar
antes de chegar ao fim, use a opcao "delete esta mensagem".

Voce colocou a "historia" dos numeros. Surgindo dos inteiros,
acrescentando-se os negativos,
indo para os racionais, enpandindo-se para os reais
(incorporando-se os irracionais) e finalmente expandido-se
para os complexos. Na sua historia, voce usa o termo "criar" para
incorporar uma nova classe de numeros. "Criaram-se os racionais...
Criaram-se os irracionais ... criaram-se os complexos" etc.
A historia esta' otima, esta' muito bem contada, mas eu acho
melhor voce trocar o "criar" por "passaram a considerar tambem",
pois "criar" um tipo de numero fica meio forte demais.
Eu diria o seguinte: os numeros já existiam, o fato de nós
(ou nossos antepassados) nao terem algum sentido físico para eles
nao sginifica que eles nao existiam.

O fato da America nao ter sido descoberta ainda há mil anos significa
que ela já nao existia, ou que ela foi criada por Colombo.
Assim, quando os antigos mediam areas e para isto usavam apenas numeros
positivos, isto nao signfica que os numeros negativos já nao
existiam. Eles (negativos) sempre existiram, apenas nao
tinhamos interpretacao fisica/pratica. Hoje em dia, olhamos
no nosso saldo bancario no fim do mes e lá estao os numeros
negativos e todos (e nao so' os matematicos) lidam com eles de
forma bem natural. E so' por causa disto nós atualmente dizemos
que os numeros negativos "existem".

Ou seja, a coisa passa a ser uma questao de linguagem e nao
de matematica. Atualmente (sempre foi assim) a gente
diz que o numero existe se nos temos uma interpretacao fisica
para ele:
-> numero negativo existe pois se te devo uma uva, eu escrevo -1
-> numero fracionario existe pois se divido uma pizza por tres
pessoas, cada uma recebe 1/3
-> numero irracional existe, pois a diagonal de um quadrado de lado
unitário tem comprimento (a diagonal) raiz(2)

É desse jeito que uma pessoa tradicionalmente pensa.
E por isto diz-se que os numeros complexos nao existem:
"como nao temos nenhuma explicacao pratica para eles
entao eles nao existem". 

Porem, um(a) matematico(a) nao precisa desta ideia de
"existir" para poder trabalhar com o numero, para poder
manipular o numero, para poder fazer coisas com o numero
que so' Deus imagina! Assim, para o matematico, se o conceito
esta' bem definido (matematicamente falando e nao necessariamente
para uma pessoa comum), pode-se "usar" a vontade.
E o numero complexo, seguindo uma serie de propriedades e operacoes
esta' muito bem definido. De fato, voce cita a engenharia eletrica.
Eu acho que esta é a área que mais usa os números complexos
na prática. Usa tanto que deu um outro nome para a "raiz(-1) = j"

Hoje em dia olhamos aqueles povos antigos que nao sabiam
lidar com numeros negativos, ou fracionarios, ou irracionais e
sentimos pena deles, pensando baixinho: "pobres ignorantes,
nao entendiam de numeros direito!" Dentro de 2000 anos,
outros estarao pensando a mesma coisa da gente so' porque
nao conseguimos "explicar" direito o que é numero complexo.
Enquanto isto nao ocorre, os matematicos já perceberam
que dá para usar mesmo sem ter um sentido físico/pratico deles!

E e' isto que os matematicos fazem. Podemos chamar disto de abstracao
ou imaginacao. E a matematica evoluiu (e continua
cada vez mais evoluindo) neste sentido.
Mantenha o interesse que daqui a pouco voce estara'
trabalhando com numeros complexos sem ter nenhum preconceito
contra eles.

Abraco,
sergio

On Mon, 25 Apr 2005, sonia wrote:

> 
> Oi! Acabei de entrar na lista. Sou uma menina de 14 anos que, por incrível que pareça, adora matemática (apesar de eu ser perfeitamente normal, viu?)  Não sei se alguém da minha idade pode ficar nessa lista, me disseram que o Prof. Nicolau poderia me expulsar por eu ser ainda adolescente, ou que outros participantes poderiam reclamar. Me citaram o caso do Prof Carlos Augusto Tamn e de um cara que sabe muita matemática, o Cláudio Buffara. Se houver problemas, peço desculpas e saio, não quero ser “aborrecente”. Mas achei melhor dizer mesmo minha idade verdadeira.
> 
> Mas, seno um pouquinho aborrecente, eu gostaria que alguem me explicasse o que é o conjunto dos complexos e o que o é de fato a misteriosa raiz(-1). Vou tentar colocar minha dúvida: inicialmente tínhamos o conjunto dos naturais N = {1,2,3......} (meu prof. convenciona que 0 não é natural), que parece que é considerado primitivo, inerente ao ser humano. Bom, não dava pra subtrair neste conjunto, não podemos calcular, por exemplo 3 – 5. Aí os matemáticos da época expandiram para o conjunto Z dos inteiros, resolvendo este problema. Mas ainda não ficou legal, pois em Z não da pra dividir sempre, mesmo quando o denominador não é nulo, não se pode, por exemplo, calcular 3/5 em Z.  Criaram então os racionais Q, resolvendo este problema. Mas ainda não atendeu plenamente, pois nem sempre podemos calcular raízes, como raiz(2) ou raiz(3), certo? Este problema foi resolvido completando a reta e criando os irracionais, não foi isto? (Eu nunca consegui entender este processo de criação do!
> s irracionais, uma vez li alguma coisa sobre cortes de Dedekind mas confesso que não entendi quase nada, me confundi toda) 
> 
> Bom, aí verificaram que os reais ainda não resolviam, pois não podíamos calcular raízes pares de números negativos, como a misteriosa raiz(-1). Aí é que me confundo. Definiram então i = raiz(-1), simplesmente deram um nome i de imaginário a raiz(-1). E criou-se um conjunto, o dos complexos, atribuindo-se a ele aquelas mesmas regras dos reais (soma, multiplicaçção, propriedades comutativas, associativas e distributivas, coisa que já estudei e acho que entendi).  Mas a misteriosa raiz(-1) ficou sendo simplesmente i, quer dizer, me parece que desta vez não resolveram o problema, apenas deram um nome à raiz(-1). Certamente não é isto, mas pra quem olha assim de fora parece um pouco de enrolação. Até então, os matemáticos vinham resolvendo os problemas das operações nos conjuntos, mas quando chegou nos complexos definiram i = raiz(-1) e expandiram R criando os complexos assumindo a validade das leis que valem nos reais. Aliás, eu tenho um primo que faz engenharia elétrica e ele m!
> e disse que em eletricidade usa-se j para raiz(-1), pois i é tradicionalmente reservado para corrente elétrica.
> 
> Eu entendo que os complexos são algo como o R^2, quer dizer, pares ordenados de números extraídos dos reais. Consigo entender que estão sobre um plano, o chamado plano de Argand-Gauss. E que podemos somar, multiplicar, fazer nos complexos o que fazemos nos reais. A misteriosa raiz(-1) não seria então o par (1,0)?  To muito confusa, desculpem minha dúvida, mas agradeço se alguem puder ajudar. Eu folheei um livro em inglês sobre complexos, do Rudin, mas nao entendi ABSOLUTAMENTE NADA, nem a introducao...
> 
> Soninha
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