Re: [obm-l] Conjunto e Corpo

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Apr 20, 2005 at 02:32:44PM +0000, Daniel Regufe wrote:
> Alguem pode me explicar oq um conjunto tem q ter ou ser pra ser considerado 
> um corpo ? E um corpo ordenado ? e um corpo ordenado completo ??  essas 
> defini��es de corpo me confundem muito ... e se puderem me falar onde q 
> er� usado essa defini��o de corpo , serei grato !

Eu vou tentar explicar, mas eu sugiro que voc� procure um bom livro de �lgebra.

Um corpo n�o � um conjunto. Um corpo tem 6 ingredientes:

(a) um conjunto que chamaremos de K;
(b+c) dois elementos destacados de K, que ser�o chamados de 0 e 1;
(d+e) duas opera��es bin�rias de KxK em K que ser�o chamadas de + e *.
(f) uma opera��o un�ria de K em K chamada -.

Al�m disso, estes ingredientes devem satisfazer os seguintes axiomas:

Para quaisquer a,b,c em K temos
(a+b)+c=a+(b+c), 0+a=a+0=a, a+(-a)=(-a)+a=0, a+b=b+a,
a*(b+c)=(a*b)+(a*c), (a*b)*c=a*(b*c), a*1=1*a=a, a*b=b*a

Para todo a em K, se a � diferente de 0, ent�o existe b em K tal que a*b=b*a=1.

Exemplos bem conhecidos de corpos s�o Q (racionais), R (reais), C (complexos)
com os significados usuais para 0, 1, +, * e -.
Outro exemplo � K = Z/(2) = {0,1} com as seguintes opera��es:
0+0=1+1=0*0=0*1=1*0=-0=0, 0+1=1+0=1*1=-1=1.

Um corpo ordenado tem ainda outro ingrediante, um subconjunto P de K
(o conjunto dos positivos) com as seguintes propriedades:

0 n�o pertence a P, 1 pertence a P.
Se a e b pertencem a P ent�o a+b e a*b pertencem a P.
Se a pertence a K, a diferente de 0, ent�o a*a pertence a P.

Alguns corpos admitem um �nico tal subconjunto P (exemplo: Q e R),
alguns admitem mais de um (exemplo: Q[sqrt(2)] = {a+b*sqrt(2); a,b em Q}),
outros n�o admitem nenhum (exemplo: C e Z/(2)).

Mas acho que este e-mail j� est� longo demais, n�o vou escrever um livro.
Fa�a perguntas mais espec�ficas, svp.

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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