Re: [obm-l] trigonometria-ajuda

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Apr 18, 2005 at 09:41:42AM -0300, Ronaldo Luiz Alonso wrote:
> Como se encontra o valor numérico de cos80°?
> 
>       Essa é uma boa pergunta.   80 =  60 + 20.
>        cos e sen de 60 você sabe.
>       O problema é achar cos e sin de 20.
>       Para isso você tem que aplicar a fórmula do arco triplo.
>        E aí você tem uma equação do 3 grau.
> 
>  Não é uma boa saída tentar resolver a bendita!
> 
>             A menos
>         que você use fórmulas para raízes cúbicas de números complexos,
> pois na fórmula deste tipo de equação cúbica o valor que aparece na
> raiz quadrada é *negativo* (a equação tem uma única solução real) e
> duas complexas conjugadas).

Peço desculpas por quebrar esta resposta em duas mensagens, mas não
tinha prestado atenção a esta parte e se eu entendi bem há alguns erros.

É fácil provar que cos(3x) = 4 cos^3(x) - 3 cos(x). Como
cos(60 graus) = 1/2, se fizermos z = 2cos(20 graus) temos
(z/2)^3 - 3(z/2) = 1/2 ou z^3 - 3z - 1 = 0. O gráfico em anexo,
feito pelo maple, ajuda a ver que esta equação tem três raízes reais:
2 cos(20 graus) ~= 1.879385242, 2 cos(140 graus) ~= -1.532088886
e 2 cos(260 graus) ~= -0.3472963553. De fato, se x = 140 graus
então cos(3x) = cos(420 graus) = cos(60 graus). Se pedirmos
para o maple resolver a cúbica, ele dá

          1/2 1/3                    
(4 + 4 I 3   )              2        
----------------- + -----------------
        2                     1/2 1/3            
                    (4 + 4 I 3   )

e outras duas raízes com expressões mais complicadas. 

Acho que vale a pena mostrar o que acontece com a formula para
resolver a cúbica. Considere a equação do segundo grau y^2 + by + c = 0,
com raízes y1 e y2. Sabemos que y1+y2 = -b, y1y2 = c.
Seja S = cbrt(y1) + cbrt(y2) (onde cbrt significa raiz cúbica).
Temos S^3 = y1 + 3 y1^(2/3) y2^(1/3) + 3 y1^(1/3) y2^(2/3) + y2 =
(y1+y2) + 3(y1y2)^(1/3)(y1^(1/3) + y2^(1/3)) = -b + 3 cbrt(c) S.
Ou seja, S^3 - 3 cbrt(c) S + b = 0. Fazendo b = -1 e c = 1,
temos que S satisfaz a equação para z. Assim, z = cbrt(y1) + cbrt(y2),
onde y1 e y2 são as raízes de y^2 - y + 1. Ou seja, y1 = (1 + sqrt(-3))/2,
y2 = (1 - sqrt(-3))/2.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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