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>Olá, membros da lista.
>Boa noite!
>Por favor, gostaria de saber como determinar o grupo de isometrias do
espaço projetivo real
>Pn(R).
Olá Carol, eu sei
muito pouco de geometria Riemanniana.
Mas tem um livro que responde isso:
Gradutate
Texts in Mathematics Vol 49 Ratchiffe - Foundations of
Hyperbolic Manifolds. Recomendo uma leitura cuidadosa deste
texto
ele é muito bom e acessível.
Bom saber que vc estuda o assunto.
Vamos esclarecer ao membros da lista o que
é o espaço
real projetivo: PR^n.
Se eu não me engano,
ele é o conjunto
todos os hiperplanos de dimensão n-1 que passam
pela origem.
Vamos vomar por exemplo PR^2 : Temos o
plano cartesiano R^2. O espaço
projetivo PR^2 é o conjunto de
todas as retas (hiperplanos de dimensão n-1 = 1)
que passam pela
origem.
Uma isometria é uma
transformação linear que preserva a métrica (nesta caso
a métrica Riemanniana do
espaço). Assim devemos ter <Au,Av> = <u,v>
para
termos uma isometria, sendo A
a transformação linear.
A métrica Riemanniana é uma forma
bilinear positiva definida (um tensor) que
permite calcular distâncias entre dois
pontos. No caso de R^n este tensor é
a identidade I_n: g_{ij..k}=1 se i = j
= ... = k e g_{ij}=0 se i =/= j forall i,j .
Isso deve valer para as subvariedades de PR^n (os hiperplanos).
Neste caso, nas subvariedades, as isometrias formam um
grupo
constituído de rotações e translações (pois pode-se
provar que essas são as únicas
transformações que
preservam a métrica - (Isso é
demonstrado no livro que eu citei acima).
Como as
subvariedades neste caso formam uma folheação do espaço
então o problema vale para as folhas (os hiperplanos).
Mas por indução em
n, se vale para R^n que é isomórfico a PR^{n-1}
deve valer para PR^n. Acho que é essa a idéia.
Mas como não domino o
assunto posso ter dito besteiras.
>Além disso, como mostro que as componentes conexas do conjunto de
pontos fixos de
>uma isometria de uma variedade Riemanniana M são subvariedades
totalmente geodésicas
>de M?
Intuitivamente parece
verdade.
Imagine por exemplo a esfera
M= S^3 (que é o conjunto x^1 + x^2
+ x^3 = 0) por exemplo com a métrica Riemmaniana . As geodésicas
são arcos de círculo
maior (isto é são círcunferências que estão em um plano que corta a origem
da esfera).
Essas geodésicas são
subvariedades de S^3 e possuem dimensão 1,
são componentes conexas de S^3 (pois sua união forma S^3) e são totalmente
geodésicas
(veja a digressão abaixo sobre possíveis falhas neste raciocínio).
Se você tem uma
isometria de S^3 em S^3 que preserva a métrica Riemmaniana e se
provar que um ponto fixo da isometria (Av = v, sendo A a isometria)
sempre deverá pertencer a uma geodésica, e vice versa,
então o conjunto destes pontos deverão
ser exatamente a subvariedade (que é uma componente conexa, como foi
explicado
acima) e essa subvariedade é exatamente a geodésica.
E daí você prova a proposição.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Agora digressões e autocríticas:
Posso ter pecado em vários
pontos :
- O que é uma
subvariedade totalmente geodésica?
Imagino que seja o conjunto de pontos que satisfaça a
equação diferencial das
linhas geodésicas. - Na minha cabeça imaginei que
elas tem um ponto
em comum logo sua interseção não é nula, no caso da geometria ser
elíptica.
Assim os arcos geodésicos seriam as componentes conexas + os dois
pólos.
- Temos todavia que tirar um
ponto. O ponto pode ser considerado
uma geodésica? Acho que sim pois se pegarmos p1=p2 então
o arco geodésico conectando esses dois pontos é o próprio ponto
p1=p2.
- Se não for isso então imagino que
a coisa deva ser mais complicada, isto é, que tenhamos que usar três atlas
para
cobrir a variedade em questão (a esfera).
-
Neste caso teríamos uma cobertura
da esfera com três esferas sem os pólos (não seriam componentes
simplesmente conexas pois cada uma delas teria dois "buracos"), mas
também
não seriam componentes conexas da esfera, pois elas não formam uma cisão
da
esfera (a intersecção delas não é não nula).
Enfim... que viagem.
Bem... Não sei se ajudei em algo, mas apenas tentei ...
[]s
>Obrigada,
>Carol
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