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Re: [obm-l] Probabilidade (Gnedenko)



ué,nao é para um segmento de qualquer tamanho???  
mesmo assim , gostei da demosntraçao....

--- "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:
> Um ponto está em AB, chamemos de P, outro em BC,
> chamemos de Q.
> As linhas de interesse são AP , PQ e QC. Qual a
> probabilidade de podermos formar um triangulo com
> essas três linhas. Lembrando que o comprimento de AB
> é a e o comprimento de BC é b.
> >
> Suponhamos que ABC = t  (0 < t < Pi)
> |AP| = a-x, |QC| = b-y ==> |PQ| = raiz(x^2 + y^2 -
> 2xycos(t))
> 
> Precisamos ter:
> 0 < x < a     (1)
> 0 < y < b     (2)
> (a-x) + (b-y) > raiz(x^2 + y^2 - 2xycos(t))    (*)
> |(a-x) - (b-y)| < raiz(x^2 + y^2 - 2xycos(t))   (**)
> 
> (*) ==>
> a^2 - 2ax + x^2 + b^2 - 2by + y^2 + 2(a-x)(b-y) >
> x^2 + y^2 - 2xycos(t) ==>
> 2(1 + cos(t))xy - 2(a + b)(x + y) + (a + b)^2 > 0   
> (3)
> 
> (**) ==>
> a^2 - 2ax + x^2 + b^2 - 2by + y^2 - 2(a-x)(b-y) <
> x^2 + y^2 - 2xycos(t) ==>
> 2(1 - cos(t))xy + 2(a - b)(x - y) - (a - b)^2 > 0   
> (4)
> 
> Agora é só calcular a área da região delimitada
> pelas inequações (1) - (4) e dividir por a*b.
> 
> Por exemplo, se t = pi/2  e  a = b, teremos:
> 0 < x < a
> 0 < y < a
> xy - (x + y) + 2a^2 > 0.
> xy > 0
> 
> Na terceira equação, se fizermos x = u + 2a  e  y =
> v + 2a, teremos:
> (u + 2a)(v + 2a) - 2a(u + v + 4a) + 2a^2 > 0 ==>
> uv - 2a^2 > 0
> 
> E, portanto:
> -2a < u < -a
> -2a < v < -a
> uv > 2a^2
> 
> E a área desejada será igual a 2a^2*(1 - log(2)).
> Logo, a probabilidade desejada será P = 2*(1 -
> log(2)) ~ 0,6137.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> 

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O que há é pouca gente para dar por isso... "
Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos

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