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[obm-l] Re:[obm-l] Soluções inteiras ..



 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Wed, 13 Apr 2005 21:18:06 -0300
Assunto: [obm-l] Soluções inteiras ..
> Olá pessoal da lista ! Estou com problemas pra resolver essa questão :
>
> Quais sãos as soluções inteiras da seguinte equação :
> x^3 + y^3 = 6xy
> Obrigado:
> Luiz Felippe Medeiros
>
 
(0,0) é uma solução.
Seja (x,y) uma solução diferente de (0,0).
Suponhamos que mdc(x,y) = d > 0.
Então, podemos escrever:
x = a*d, y = b*d e mdc(a,b) = 1, de modo que:
d*(a^3 + b^3) = 6*a*b.
mdc(a,a^3+b^3) = mdc(b,a^3+b^3) = 1 ==>
a*b divide d ==>
d = k*a*b  (k inteiro) ==>
k*(a^3 + b^3) = 6 ==>
a^3 + b^3 divide 6 ==>
a^3 + b^3 pertence a {1,-1,2,-2,3,-3,6,-6} ==>
a^3 + b^3 = 2  ou  a^3 + b^3 = -2 ==>
a = b = 1  ou  a = b = -1.
a = b = 1 ==> d = 3 ==> x = y = 3
a = b = -1 ==> d = -3 ==> não pode (pois d > 0).
Logo, as únicas soluções são (0,0) e (3,3).
[]s,
Claudio.