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Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier
Eu consegui provar o caso N == 2 (mod 4), o qual, obviamente, deve ser o mais fácil...
Sejam N = 4m+2 e w = cis(2*pi/N) = cis(pi/(2m+1)) ==>
w^(2m+1) = -1.
Olhando mod 4m+2:
(2m+1)^2 = 4m^2+4m+1 == 2m+1
Logo, para 0 <= k <= 2m:
(2m+1+k)^2 - k^2 = (2m+1)^2 + 2(2m+1)k == (2m+1)^2 == 2m+1 ==>
(2m+1+k)^2 == k^2+2m+1 ==>
w^((2m+1+k)^2) = w^(k^2+2m+1) = w^(k^2)*w^(2m+1) = -w^(k^2)
Assim:
SOMA(k=0...N-1) w^(k^2) =
SOMA(k=0...2m) ( w^(k^2) + w^((2m+1+k)^2) ) =
SOMA(k=0...2m) ( w^(k^2) - w^(k^2) ) = 0.
***
Nos outros casos aparece aquela raiz(N), que complica um pouco as coisas...
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Mon, 11 Apr 2005 19:42:15 -0300 |
| Assunto: |
Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier |
> Acho que é isso mesmo.
>
> Pra mim, o problema é provar que:
> se n é inteiro positivo e w = exp(i*2*pi/n), então:
> 1 + w + w^4 + w^9 + ... + w^((n-1)^2) = K(n)*raiz(n)
> onde K(n) = 1+i, 1, 0, i se n == 0, 1, 2, 3 (mod 4), respectivamente.
>
> Não me parece muito trivial...
>
> Aliás, alguém conhece alguma fórmula fechada para a soma:
> 1 + x + x^4 + x^9 + ... + x^(n^2) com x qualquer?
> E como se chama isso? Soma de uma PG de segunda ordem (onde os logs dos termos formam uma PA de 2a. ordem)?
>
> []s,
> Claudio.
>
>
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
>
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
>
| Data: |
Mon, 11 Apr 2005 18:41:49 -0300 (ART) |
>
| Assunto: |
Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier |
> >
> >
> > Desculpem
> >
> > Nao havia notado que o somatorio vai so ateh N-1.
> > Assim, o problema deve ser soh para N>1.
> > Alguns testes que fiz indicam que K K eh k^2 e que
> > no segundo somatorio o segundo membro deve ser
> >
> > ( 1 + cos(Np/2) + sin(Np/2) )(Raiz(N)/2) - 1.
> > Pode confirmar?
> >
> > Wilner
> >
> >
> > --- Eduardo Wilner wrote:
> > >
> > > Oi Felipe.
> > >
> > > Tentei adivinhar as expressoes que vc. coloca mas
> > > estah dificil, principalmente o segundo membro da
> > > somatoria dos cosenos.
> > > Veja que para N=1 portanto K=1 (nao sei se K
> > > K=K^2,
> > > i.e. K ao quadrado, mas neste caso nao importa) nao
> > > se
> > > consegue obter a igualdade expressa.
> > >
> > > Se vc. pouder ser mais explicito...
> > >
> > > []s
> > >
> > > Wilner
> > >
> > >
> > > --- Felipe Amaral
wrote:> > > > Oi, esse problema foi passado pelo meu professor
> > > > enquanto ele
> > > > explicava Serie de Fourier mas nem ele e ninguem
> > > > que eu conheca
> > > > conseguiu provar as seguintes identidades:
> > > >
> > > > Somatorio de K = 1, 2, 3 ... (N-1)
> > > >
> > > > com p = PI
> > > >
> > > > sin( 2 p K K / N ) = ( 1 + cos( N p / 2 ) -
> > > sin(
> > > > N p /2 ) ) Raiz(N) / 2
> > > >
> > > > cos( 2 p K K / N ) = ( 1 + cos( N p / 2 ) + sin(
> > > N
> > > > p /2 ) ) Raiz(N) / 2 - 1
> > > >
> > > > Grato desde ja
> > > >
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