Re: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2()Caso Geral

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

Existe alguma especie de formula fechada para o caso
geral? Ou seja, calcular as k-esimas potencias dos n
primeiros naturais, em funcao de n e k.


--- "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
wrote:
> On Tue, Apr 05, 2005 at 02:02:34PM -0300,
> claudio.buffara wrote:
> > Ontem alguém perguntou aqui na lista como se
> demonstrava a fórmula da soma
> > dos quadrados dos primeiros n inteiros positivos.
> 
> Oi Claudio, achei bem legal a sua demonstração.
> 
> Na verdade este assunto já foi discutido várias
> vezes nesta lista
> e pode valer a pena dar uma olhada nos arquivos.
> 
> Seja f(n) = 1^2 + 2^2 + ... + n^2. Podemos definir f
> também como
> a única função de Z em Z que satisfaz f(0) = 0, f(n)
> = f(n-1) + n^2.
> 
> É fácil ver que f é um polinômio de grau 3. De fato,
> considere a
> seguinte transformação linear: T(a,b,c) = (d,e,f)
> se, sendo
> g(n) = an^3 + bn^2 + cn, tivermos g(n) - g(n-1) =
> dn^2 + en + f.
> A transformação linear T é bem definida pois os
> termos de grau 3
> se cancelam; T também é injetora, pois g(n) - g(n-1)
> = 0 para todo n
> implica que g é constante logo, como não há termos
> constante em g,
> temos g = 0. Assim T é inversível. Note que o mesmo
> raciocínio
> demonstra que se h é um polinômio de grau k e se g
> satisfaz
> g(n) = g(n-1) + h(n) então g é polinômio de grau
> k+1.
> 
> Agora escrevendo f(n) = an^3 + bn^2 + cn + d, f(0) =
> 0, f(1) = 1,
> f(2) = 5, f(3) = 14 temos um sisteminha 3x3:
>   a +  b +  c =  1
>  8a + 4b + 2c =  5
> 27a + 9b + 3c = 14
> e podemos facilmente achar a, b e c.
> 
> Mas acho mais elegante neste caso ver quais são as
> raízes de f.
> Claramente temos f(0) = f(-1) = 0. Note que f(-2) =
> - (-1)^2 = -f(1),
> f(-3) = - (-1)^2 - (-2)^2 = -f(2), ...,
> f(-1-n) = - (-1)^2 - (-2)^2 - ... - (-n)^2 = -f(n).
> Temos assim f(-1-n) = -f(n) donde f(-1/2) = 0, a
> terceira raiz.
> Assim f(n) = cn(n+1)(2n+1). Uma substituição obteria
> o valor de c,
> mas prefiro fazer f(n) ~= int_0^n t^2 dt = 1/3 n^3
> donde c = 1/6.
> 
> []s, N.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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